¿Cómo puedo resolver el siguiente PDE para que la solución general? $$ {\partial u \over \partial t} - k {\partial ^2 u \over \partial x^2} =0$$ ¿Cómo puedo determinar la general de la solución de esta ecuación se $u(x, t) = X(x)T(t) $? Traté de Monge del método , pero no pudo conseguirlo. Mi libro de texto sólo se ocupa en particular de la solución usando la condición de frontera.
Respuestas
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Caso $1$: $\text{Re}(kt)\geq0$
Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,
A continuación, $X(x)T'(t)-kX''(x)T(t)=0$
$X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)$
$\dfrac{T'(t)}{kT(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-(f(s))^2$
$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-k(f(s))^2\\X''(x)+(f(s))^2X(x)=0\end{cases}$
$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-kt(f(s))^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sin(xf(s))+c_2(s)\cos(xf(s))&\text{when}~f(s)\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~f(s)=0\end{cases}\end{cases}$
$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+\int_sC_3(s)e^{-kt(f(s))^2}\sin(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{-kt(f(s))^2}\cos(xf(s))~ds$ o $C_1x+C_2+\sum_sC_3(s)e^{-kt(f(s))^2}\sin(xf(s))+\sum_sC_4(s)e^{-kt(f(s))^2}\cos(xf(s))$
Caso $2$: $\text{Re}(kt)\leq0$
Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,
A continuación, $X(x)T'(t)-kX''(x)T(t)=0$
$X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)$
$\dfrac{T'(t)}{kT(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=(f(s))^2$
$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=k(f(s))^2\\X''(x)-(f(s))^2X(x)=0\end{cases}$
$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{kt(f(s))^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sinh(xf(s))+c_2(s)\cosh(xf(s))&\text{when}~f(s)\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~f(s)=0\end{cases}\end{cases}$
$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+\int_sC_3(s)e^{kt(f(s))^2}\sinh(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{kt(f(s))^2}\cosh(xf(s))~ds$ o $C_1x+C_2+\sum_sC_3(s)e^{kt(f(s))^2}\sinh(xf(s))+\sum_sC_4(s)e^{kt(f(s))^2}\cosh(xf(s))$
Por lo tanto $u(x,t)=\begin{cases}C_1x+C_2+\int_sC_3(s)e^{-kt(f(s))^2}\sin(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{-kt(f(s))^2}\cos(xf(s))~ds&\text{when}~\text{Re}(kt)\geq0\\C_1x+C_2+\int_sC_3(s)e^{kt(f(s))^2}\sinh(xf(s))~ds+\int_sC_4(s)e^{kt(f(s))^2}\cosh(xf(s))~ds&\text{when}~\text{Re}(kt)\leq0\end{cases}$ o $\begin{cases}C_1x+C_2+\sum_sC_3(s)e^{-kt(f(s))^2}\sin(xf(s))+\sum_sC_4(s)e^{-kt(f(s))^2}\cos(xf(s))&\text{when}~\text{Re}(kt)\geq0\\C_1x+C_2+\sum_sC_3(s)e^{kt(f(s))^2}\sinh(xf(s))+\sum_sC_4(s)e^{kt(f(s))^2}\cosh(xf(s))&\text{when}~\text{Re}(kt)\leq0\end{cases}$
Esta es ya la solución general de la $\dfrac{\partial u}{\partial t}-k\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=0$ . Tenga en cuenta que cuando sin ningún I. C. s, la forma de $f(s)$ puede elegir arbitraria, pero cuando I. C. s, la forma de $f(s)$ y la elección si el uso de la integración del núcleo o mediante la sumatoria del núcleo debe elegir sabiamente con el fin de dar cabida a la I. C. s para obtener la más agradable forma de la solución, especialmente el número de I. C. s es más que dos.
Otro método brillante se llama el poder de la serie de método.
Similar a la de la PDE - solución con poder serie:
Deje $u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(x-a)^n}{n!}\dfrac{\partial^nu(a,t)}{\partial x^n}$ ,
A continuación, $u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(x-a)^{2n}}{(2n)!}\dfrac{\partial^{2n}u(a,t)}{\partial x^{2n}}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(x-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}\dfrac{\partial^{2n+1}u(a,t)}{\partial x^{2n+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(x-a)^{2n}}{k^n(2n)!}\dfrac{\partial^nu(a,t)}{\partial t^n}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(x-a)^{2n+1}}{k^n(2n+1)!}\dfrac{\partial^{n+1}(a,t)}{\partial t^n\partial x}=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(t)(x-a)^{2n}}{k^n(2n)!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{g^{(n)}(t)(x-a)^{2n+1}}{k^n(2n+1)!}$
Kent
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201
No estoy seguro de que mi respuesta es una respuesta a la pregunta. Supongo que el OP gustaría entender por qué la solución general de la ecuación del calor es el que todos estudiamos en la PDE cursos, que se encuentra por separación de variables. Esta pregunta está lejos de ser trivial: se nos da una ecuación y nos conjetura de que su solución(s) se puede escribir como un producto de dos funciones de dos variables independientes. Por qué? Bien, la respuesta nunca es dada en la primera de cursos de ecuaciones en derivadas parciales. Y la respuesta es que no hay ninguna razón por qué esto debe ser realmente verdadero. Como Evans escribe en su libro sobre Ecuaciones Diferenciales Parciales, es útil para encontrar particular, soluciones de, por ejemplo, la denominada solución fundamental. Pero no hay ninguna razón por qué esto debería ser la mayoría de la solución general de la ecuación dada. Para la ecuación del calor, no hay un teorema de unicidad. Evans muestra que la singularidad tiene entre las soluciones que crecen en la mayoría de los como $e^{x^2}$, pero que hace referencia a otro libro para la construcción de una infinidad de soluciones de la ecuación del calor que crecen aún más rápido de lo $e^{x^2}$.
En mi opinión, la expresión "solución general" debe evitarse cuidadosamente, cuando el estudio de ecuaciones en derivadas parciales. Sólo un muy pequeño número de ecuaciones que hace una clasificación completa de las soluciones existen. Muchas cosas dependen de las condiciones de contorno: una ecuación puede tener un número infinito de soluciones si una condición de frontera de Neumann es prescrito, y sólo una constante de la solución si la condición de Dirichlet es prescrito.
Mhenni Benghorbal
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1
Es un problema clásico. Yo recomiendo que usted consultar un libro en ingeniería avanzada de las matemáticas, donde se pueden encontrar todos los detalles que necesitas. Vamos a tratar de averiguarlo.
$$ \mathrm{PDE}\quad u_{t}(x,t) = k u_{xx}(x,t) $$
$$ \mathrm{B.C} \quad u(0,t) = 0 \,, \quad u(L,t)=0 \,.$$
$$ \mathrm{I.C} \quad u(x,0) = f(x) \,.$$
Indicar las ecuaciones anteriores por $(S)$
La técnica se basa en el método de separación de variables. Funciona como suponer que la solución tiene la forma $u(x,t)=X(x)T(t) \,.$ Calcular los derivados
$$ u_t(x,t) = X(x)T'(t)\,, \quad u_{xx}(x,t) = T''(x)T(t)\,, $$
a continuación, sustituya en la ecuación diferencial para obtener
$$ X(x)T'(t) = k X''(x)T(t) \Rightarrow \frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} \,.$$
Es claro a partir de la última ecuación que la izquierda sólo depende de $t$ y el lado derecho sólo depende de x. Esto significa que la igualdad sólo se aplica si ambos lados son iguales a la misma constante. Para ello, obtenemos
$$ \frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2 \rightarrow (*) \,.$$
La selección de $ -\lambda^2 $, y no $ \lambda^2 $, en la ecuación de arriba es la única selección para los cuales existen soluciones no triviales. Está claro que $(*)$ da dos ecuaciones diferenciales ordinarias es decir,
$$ T'(t) +k\lambda^2 T(t) = 0 \rightarrow (1)\,,$$ $$ X''(x) + \lambda^2 X(x) = 0 \rightarrow (2) \,. $$
La solución de la primera ecuación diferencial ordinaria $(1)$ da
$$ T'(t) = C {\rm e}^{-k\lambda^2}t \rightarrow (**) \,, $$
donde $C$ es una constante. En el otherhand, la función de $ X(x) $ se puede encontrar mediante la resolución de segundo orden lineal de la ecuación diferencial ordinaria $(2)$,
$$ X(x)= A \cos(\lambda x) + B \sin( \lambda x ) \rightarrow (***) \,, $$
donde $A$ $B$ son constantes. La determinación de las constantes $A$, $B$, y $\lambda$ depende de la homogeneidad de las condiciones de contorno
$$ u(0,t) = 0 \,,$$ $$ u(L,t)=0 \,.$$
La sustitución de las anteriores condiciones iniciales en $ u(x,t) = X(x)F(t) $,rendimientos,
$$ X(0)T(t) = 0 \Rightarrow X(0) = 0\,. $$ $$ X(L)T(t) = 0 \Rightarrow X(L) = 0 \,. $$
El uso de $X(0)=0$ a $(***)$ conduce a
$$ A = 0 \implies X(x) = B \sin(\lambda x ) \longrightarrow ($) \,.$$
Sustituyendo la condición de $ X(L) = 0 $ a $$ ($) $$ da $$ B\sin(\lambda L) = 0 \implies B=0 \quad \mathrm{or}\quad \sin(\lambda L)=0 \,. $$
Desde $B=0$ da la solución trivial $ u(x,t)=0 $ \,, tenemos
$$ \sin(\lambda L) = 0 \rightarrow \lambda_nL= n \pi \rightarrow \lambda_n= \frac{n \pi}{L}\,,\quad n=1,2,3,\dots \,. $$
Desde $ n = 0 $ da la solución trivial. Va a ser excluidos. En vista de que el número infinito de valores propios, escribimos, $$ X_n(x) = \sin(\frac{n\pi}{L}x)\,, \quad T_n(t) = {\rm e}^{-k{(\frac{n\pi}{L})}^2\,t } \,. $$
Olvidándose de las constantes de $B$$C$, las funciones
$$ u(x,t) = X_n(x)T_n(t) = \sin(\frac{n\pi}{L}x)\, {\rm e}^{-k{(\frac{n\pi}{L})}^2\,t } \,, n=1,2,3,\dots $$
se llama fundamental de soluciones que satisfacen el (PDE) y el de las condiciones de contorno.
Recordando la super posición de principio, una combinación lineal de las soluciones fundamentales también satisface la ecuación dada y las condiciones de frontera. Por lo tanto, tenemos
$$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n {\rm e}^{-k{(\frac{n\pi}{L})}^2 t }\sin(\frac{n\pi}{L}x)\, $$
donde $\alpha_n$ son constantes a determinar. Para determinar el $ \alpha_n $, hacemos un llamamiento a la condición inicial $u(x,0)=f(x)$ y sustituir en la última ecuación, obtenemos
$$ u(x,0) = f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \sin(\frac{n\pi}{L}x) \,.$$
La comparación de la ecuación anterior con la serie de Fourier de una función, se puede ver que esta serie no es nada, pero la serie de Fourier de $f(x)$, lo que implica que
$$ \alpha_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi}{L}x)\,dx \,.$$
Puesto que el $\alpha_n$ han sido determinados, la solución particular $u(x,t)$ sigue inmediatamente,
$$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi}{L}x)\,dx \right) {\rm e}^{-k{(\frac{n\pi}{L})}^2 t }\sin(\frac{n\pi}{L}x) \,. $$
