rango de una matriz

Question

En primer lugar me disculpo porque he pedido a semejante pregunta hace unos días. Pero sigo teniendo problema con la reducción de la fila cuando hay letras en una matriz. La cuestión es preguntar el valor de 'a' cuando el rango de la matriz es 1, 2, 3 y 4. Yo no soy bueno en la reducción de la fila. En las operaciones de cada fila la matriz se convirtió en más confusa. Si alguien me ayuda con la reducción de la fila, será muy feliz. $$ \left ( \begin{array}{ccc} 1&1&2&0\ 2&a+1&3&a-1\ -3&a-2&a-5&a+1\ a+2&2&a+4&-2a \end{matriz} \right) $$

Answer 1

Usted sólo necesita trabajar el álgebra, así como se hace con regular álgebra.

Restar dos veces la primera fila de la segunda fila para conseguir $$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & a-1 & -1 & a-1\\ -3 & a-2 & a-5 & a+1\\ a+2 & 2 & a+4 & -2a \end{array}\right).$$ Esto es sólo el álgebra (por ejemplo, el (2,2) de entrada es $a-1$ porque $(a+1)-2 = a-1$).

Agregar tres veces la primera fila a la segunda fila. El (3,2) entrada será a $(a-2) + 3(1) = a+1$; (3,3) entrada será a $(a-5)+3(2) = a+1$. Etc. Usted obtener: $$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & a-1 & -1 & a-1\\ 0 & a+1 & a+1 & a+1\\ a+2 & 2 & a+4 & -2a \end{array}\right).$$ Restar $a+2$ veces la primera fila a partir de la cuarta fila; que significa restar $1(a+2)$ desde la primera entrada; $1(a+2)$ a partir de la segunda entrada; $2(a+2)$ a partir de la tercera entrada; y $0$ a partir de la cuarta entrada. Usted obtener: $$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & a-1 & -1 & a-1\\ 0 & a+1 & a+1 & a+1\\ 0 & -a & -a & -2a \end{array}\right).$$ Agregar la cuarta fila a la tercera fila para simplificar las cosas: $$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & a-1 & -1 & a-1\\ 0 & 1 & 1 & -a+1\\ 0 & -a & -a & -2a \end{array}\right).$$ Intercambio de segunda y tercera fila: $$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -a+1\\ 0 & a-1 & -1 & a-1\\ 0 & -a & -a & -2a \end{array}\right).$$ Agregar $1-a$ veces la segunda fila a la tercera fila: $$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -a+1\\ 0 & 0 & -a & -1+2a-a^2\\ 0 & -a & -a & -2a \end{array}\right).$$

Sólo estamos haciendo álgebra, sólo en varias columnas al mismo tiempo. Siga hasta llegar a una matriz para que la clasificación será fácil de averiguar, dependiendo de los valores de $a$. Yo he conseguido casi todo el camino.

Answer 2

aquí hay una respuesta para rank=1:

si rank=1, esto significa que todas las filas son dependientes. La primera fila es dado, de modo que cada fila debe ser un múltiplo de la primera fila. Vamos a empezar con la segunda fila. desde que el primer elemento de la segunda fila es 2, y el primer elemento de la primera fila es 1, entonces (a+1) también debe ser de 2*1 y (a-1) 2*0. por lo $a$ debe ser igual a 1. Sin embargo, si usted compruebe la tercera fila, sustituyendo $a$ con 1, tenemos [-3, -1, -4, 2], que no es un múltiplo de la primera fila. por lo tanto rank=1 no tiene solución.

Usted puede hacer la fila de manipulación para realizar la matriz triangular inferior. a continuación, el factor determinante será el producto de los elementos en la diagonal.