Que $n$ ser un entero positivo con distintos primeros divisores de $k$. Demostrar que existe un entero positivo $a$ $1<a que="" tal="">No puedo resolverlo. ¿Alguien me podria ayudar?
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Respuesta
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Deje $n=\prod _{i=1}^kp_i^{c_i}$$c_i\ge 1$. Fix $j\in\{0,\ldots,k\}$. A continuación, podemos encontrar $a_j\in\{1,\ldots,n\}$$a_j\equiv 1\pmod {p_i^{c_i}}$$i\le j$$a_j\equiv 0\pmod {p_j^{c_j}}$$i>j$.
Si queremos el fin de la $k+1$ distintos números de $a_j$ en orden ascendente (al parecer, mirando con $a_k=1$ y terminando con $a_0=n$), no debe ser de dos términos consecutivos $a_r,a_s$ en esta secuencia con $0<a_s-a_r\le\frac{n-1}{k}$. Deje $\tilde a=a_s-a_r$.
Primero asuma $s>r$. A continuación, ninguno de $r,s$$=0$, por lo tanto $p_1^{c_1}\mid \tilde a$. En particular, $\tilde a>1$. Tenemos $\tilde a\equiv 1\pmod {p_i^{c_i}}$ $r<i\le s$ $\tilde a\equiv 0\pmod {p_i^{c_i}}$ lo contrario. Llegamos a la conclusión de que $\tilde a(\tilde a-1)\equiv 0\pmod n$. Como $\frac{n-1}k<\frac nk+1$, encontramos una solución dejando $a=\tilde a$.
A continuación, suponga $s<r$. Como en el anterior, hemos $\tilde a\equiv 0\text{ or }{-1}\pmod {p_i^{c_i}}$ todos los $i$, por lo tanto $\tilde a(\tilde a+1)\equiv 0\pmod n$. Así que si dejamos $a=\tilde a+1>1$,$a(a-1)\equiv 0\pmod n$. También, $a\le \frac{n-1}k+1<\frac nk+1$, por lo tanto, esta $a$ tiene las propiedades deseadas.
