Dejemos que p(t)=∑pktk sea un polinomio en Z[t] con p0=1 . ¿Existe una condición necesaria y suficiente (congruencia u otra) sobre los coeficientes pk tal que p(t) admite una raíz cuadrada en Z[[t]] ?
En términos más generales, ¿existe una condición necesaria y suficiente para p(t) para tener un n -th raíz en Z[[t]] ?
Basado en el hecho de que (1+n2z)1/n∈Z[[z]] para cualquier n∈Z+ obtenemos una condición suficiente, a saber, que n2∣pk para todos k>0 . Sin embargo, esto es muy débil.
Editar: Aclaración de la notación según uno de los comentarios. Además, un artículo reciente "Sobre la integralidad de n El libro 'Roots of Generating Functions' de Heninger, Rains y Sloane ofrece un criterio que puede ser útil:
"Dejemos μn=n∏q∣nq donde q se extiende sobre los primos que dividen n . Entonces f=∑untn∈Z[[t]] admite un n raíz en Z[[t]] si y sólo si f \mod \mu_n también lo hace".
Como tal, podemos esperar tener suerte y tener alguna reducción que sea obviamente una n de la potencia (por ejemplo, si f \mod \mu_n es el poder de algunos polinomio en lugar de una simple serie de potencias. Nótese, por supuesto, que esto no resuelve nuestra pregunta original.
Edición II: Esta pregunta lleva mucho tiempo sin tocarse, pero quizás esto ayude a otro como referencia. Para completar, me gustaría añadir que la condición de que p reducir el módulo \mu_n a la n potencia de un polinomio en \mathbb{Z}[t] es realmente suficiente y necesario para p para admitir un n raíz en \mathbb{Z}[[t]] (dado, por supuesto, que p(0)=1 ). La prueba se basa en el siguiente lema combinatorio, que \mu_n \mid (\mu_n/n)^k \binom{n}{k} para k=1,\ldots, n . Se puede demostrar entonces que nuestro n las raíces de p(t) , digamos que \sum a_n t^n \in \mathbb{Z}[[t]] se reducen a polinomios \mod \mu_n/n demostrando que n a_n es eventualmente divisible por (\mu_n/n)^k \binom{n}{k} para algunos k por un argumento de simetría/combinatoria.