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Condiciones necesarias y suficientes para que un polinomio en Z[t] para tener un n raíz en Z[[t]]

Dejemos que p(t)=pktk sea un polinomio en Z[t] con p0=1 . ¿Existe una condición necesaria y suficiente (congruencia u otra) sobre los coeficientes pk tal que p(t) admite una raíz cuadrada en Z[[t]] ?

En términos más generales, ¿existe una condición necesaria y suficiente para p(t) para tener un n -th raíz en Z[[t]] ?

Basado en el hecho de que (1+n2z)1/nZ[[z]] para cualquier nZ+ obtenemos una condición suficiente, a saber, que n2pk para todos k>0 . Sin embargo, esto es muy débil.

Editar: Aclaración de la notación según uno de los comentarios. Además, un artículo reciente "Sobre la integralidad de n El libro 'Roots of Generating Functions' de Heninger, Rains y Sloane ofrece un criterio que puede ser útil:

"Dejemos μn=nqnq donde q se extiende sobre los primos que dividen n . Entonces f=untnZ[[t]] admite un n raíz en Z[[t]] si y sólo si f \mod \mu_n también lo hace".

Como tal, podemos esperar tener suerte y tener alguna reducción que sea obviamente una n de la potencia (por ejemplo, si f \mod \mu_n es el poder de algunos polinomio en lugar de una simple serie de potencias. Nótese, por supuesto, que esto no resuelve nuestra pregunta original.

Edición II: Esta pregunta lleva mucho tiempo sin tocarse, pero quizás esto ayude a otro como referencia. Para completar, me gustaría añadir que la condición de que p reducir el módulo \mu_n a la n potencia de un polinomio en \mathbb{Z}[t] es realmente suficiente y necesario para p para admitir un n raíz en \mathbb{Z}[[t]] (dado, por supuesto, que p(0)=1 ). La prueba se basa en el siguiente lema combinatorio, que \mu_n \mid (\mu_n/n)^k \binom{n}{k} para k=1,\ldots, n . Se puede demostrar entonces que nuestro n las raíces de p(t) , digamos que \sum a_n t^n \in \mathbb{Z}[[t]] se reducen a polinomios \mod \mu_n/n demostrando que n a_n es eventualmente divisible por (\mu_n/n)^k \binom{n}{k} para algunos k por un argumento de simetría/combinatoria.

3voto

Esta es una forma tonta de plantear las condiciones necesarias. Dejemos que p(t)=1+a_1t+a_2t^2+\cdots +a_nt^n \in \mathbb{Z}[t] sea un polinomio. Entonces, utilizando la expansión de Taylor para f(x)=\sqrt{1+x} ,

\sqrt{1+x} = 1 + 1/2x - 1/8x^2 + 1/16x^3 - 5/128x^4 + 7/256x^5 - 21/1024x^6 +\cdots

obtenemos una expansión de \sqrt{p(t)} en \mathbb{Q}[[t]] de la siguiente manera:

\sqrt{1+(p(t)-1)} = 1 + \frac{(p(t)-1)}{2} - \frac{(p(t)-1)^2}{8} + \frac{(p(t)-1)^3}{16} - \frac{5(p(t)-1)^4}{128} + \cdots =1 + \frac{a_1}{2}t + \frac{(-\frac{a_1^2}{4} + a_2)}{2}t^2 + \frac{(\frac{a_1^3}{8} - \frac{a_1a_2}{2} + a_3)}{2}t^3+\cdots

Supongamos que hay un q(t)=1+\cdots \in \mathbb{Z}[[t]] con q(t)^2=p(t) . Entonces q(t)^2 = \left(\sqrt{p(t)}\right)^2 y así q(t) = \pm \sqrt{p(t)} (Obsérvese que \mathbb{Q}[[x]] es un dominio integral). Dado que ambos comienzan con 1 Debemos tener q(t) = \sqrt{p(t)}\in \mathbb{Z}[[t]].

Así,

  • a_1 debe ser uniforme,

  • a_2-a_1^2/4 debe ser uniforme,

  • \frac{a_1^3}{8} - \frac{a_1a_2}{2} + a_3 debe ser par, etc.

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