evaluar una expresión que sea la media aritmética de primero $N$ sumas parciales de una progresión geométrica

Question

Estoy intentando evaluar una expresión que es la media aritmética de primero $N$ sumas parciales de una progresión geométrica.

$\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}(N-k)z^k$

Por favor, sugiéranme algunas pistas o ideas para proceder.

Answer 1

En términos más generales, puede evaluar

$$\sum_{k=0}^{N-1}P(k)z^k$$

para cualquier polinomio $P$ utilizando

$$(z\frac{\mathrm d}{\mathrm d z}) z^k=kz^k\;.$$

Así, puede sustituir $k$ por $D:=z\frac{\mathrm d}{\mathrm d z}$ en $P\,$ :

$$ \begin{eqnarray} \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}(N-k)z^k &=& \sum_{k=0}^{N-1}\left(1-\frac{k}{N}\right)z^k \\ &=& \sum_{k=0}^{N-1}\left(1-\frac{D}{N}\right)z^k \\ &=& \left(1-\frac{D}{N}\right)\sum_{k=0}^{N-1}z^k \\ &=& \left(1-\frac{D}{N}\right)\frac{z^N-1}{z-1}\;. \end{eqnarray} $$