Elipse con los no-ortogonal de los ejes mayor y menor?

Question

Si hay una elipse con los no-ortogonal de los ejes mayor y menor, ¿cómo se llaman? Por ejemplo, es la siguiente curva de una elipse?

$x = \cos(\theta)$

$y = \sin(\theta) + \cos(\theta) $

la curva de $C=\vec(1,0)*\cos(\theta) + \vec(1,1)*\cos(\theta) $

Los ejes mayor y menor son $\vec(1,0)$$\vec(1,1)$. No son ortogonales.

Es todavía una elipse?

Supongamos que tengo un punto de $P(p_1,p_2)$ puedo encontrar un punto P de la curva que tiene menor distancia euclidiana de P?

Answer 1

Más explícitamente, tenemos la descomposición

$$\begin{pmatrix}\cos\,t\\\cos\,t+\sin\,t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\,\lambda&-\sin\,\lambda\\\sin\,\lambda&\cos\,\lambda\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sqrt{1+\phi}\cos(t+\eta)\\\sqrt{2-\phi}\sin(t+\eta)\end{pmatrix}$$

donde $\tan\,\lambda=\phi$, $\tan\,\eta=1-\phi$, y $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la proporción áurea. Se puede comprobar que tanto el original de las ecuaciones paramétricas y la nueva descomposición ambos satisfacen la ecuación Cartesiana $2x^2-2xy+y^2=1$. Lo que la descomposición dice es que su curva es una elipse con ejes $\sqrt{1+\phi}$$\sqrt{2-\phi}$, con el eje mayor inclinan en un ángulo de $\lambda$.

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Si tomamos el algebraicas lineales punto de vista, como el propuesto por Robert en los comentarios, con lo que la descomposición dada anteriormente, asciende a es la descomposición de valor singular (SVD) de la esquila de la matriz; es decir,

$$\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\,\lambda&-\sin\,\lambda\\\sin\,\lambda&\cos\,\lambda\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sqrt{1+\phi}&\\&\sqrt{2-\phi}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\,\eta&\sin\,\eta\\-\sin\,\eta&\cos\,\eta\end{pmatrix}^\top$$

El SVD es, de hecho, una excelente manera de ver cómo una transformación de matriz geométricamente afecta a los puntos: los dos matrices ortogonales a la izquierda y a la derecha puede ser pensado como la rotación de matrices, matrices de reflexión, o productos de ellos derivados, y la matriz diagonal que contiene los valores singulares de las cantidades a nada más que una escala sobre los ejes de su sistema de coordenadas.

Answer 2

Observe que $\sin\theta+\cos\theta \propto \sin(\theta+\pi/4)$, por lo que la forma que está el dibujo es sólo una rotada (y estirado) de la elipse (porque la "esquina" de puntos, $\theta=n\pi/2$, se producen con las coordenadas desplazado de la habitual $x$-eje, $y$-eje de orientación).

Grapher está de acuerdo:

Así, en el sentido de que usted ha definido, los ejes de la elipse no terminan no ortogonal a todos, espero que las respuestas que el resto de las preguntas.

En general, una combinación lineal de senos y cosenos siempre puede ser escrito como una sola desplazado seno o coseno, y por lo tanto una elipse puede ser rotada (y/o estirado) como tal.

Answer 3

Sugerencia: De $y=\sin\theta+\cos\theta$, obtenemos $y-x=\sin\theta$, y por lo tanto $(y-x)^2=\sin^2\theta=1-x^2$. Después de simplificar y completar el cuadrado, se puede reconocer la curva?

Los ejes mayor y menor resultan ser ortogonales.