Alguien puede explicarme cómo se deriva la forma alternativa del teorema de Bayes?

Question

Entiendo cómo hacemos para que esta fórmula

$$\Pr(H\mid E) = \frac{\Pr(H)\Pr(E\mid H)}{\Pr(E)}$$

el hecho de que $\Pr(H\cap E)$ es igual para ambos $\Pr(H)\Pr(E\mid H)$ $\Pr(E)\Pr(H\mid E),$ y resolviendo $\Pr(H\mid E).$

Pero, ¿cómo vamos en el denominador de la negrita fórmula para este nuevo denominador de abajo

$$\Pr(E) =\Pr(H)\Pr(E\mid H)+\Pr(\bar H)\Pr(E\mid \bar H)$$

?

Por favor, que me lo explique como estoy de diez años de edad. Soy nuevo en el de Bayes y se enteró de la anterior después de pasar los diagramas de Venn varias veces, para romper hacia abajo para mí.

Muchas gracias.

Answer 1

Mira la probabilidad de diagrama de árbol:

$$\begin{align}P(H|E)=\frac{P(H\cap E)}{P(E)}=&\frac{P(E\cap H)}{P(E\cap H)+P(E\cap (-H))}=\\ &\frac{\color{red}{P(H)\cdot P(E|H)}}{P(H\cap E)+P((-H)\cap E)}=\\ &\frac{\color{red}{P(H)\cdot P(E|H)}}{\color{red}{P(H)\cdot P(E|H)}+\color{blue}{P(-H)\cdot P(E|(-H))}}. \end{align}$$

Answer 2

Es llamada la Ley de la Total Probabilidad.

Desde la unión de cualquier evento $H$ y su complemento $\overline H$ comprenden el total de la muestra en el espacio (por definición), y la intersección de cualquier evento $E$ e el espacio muestral es igual a la de sucesos, entonces claramente:

$$\begin{split}E&=E\cap (H\cup\overline H)\\ & = (E\cap H)\cup(E\cap \overline H)\end{split}$$

Ahora, los dos componentes de esa unión son distintos, y la probabilidad de una unión de distintos eventos es la suma de las probabilidades de estos eventos, así que: $$\mathsf P(E)=\mathsf P(E\cap H)+\mathsf P(E\cap\overline H)$$ Then it is just a matter of applying the definition for conditional probability. $$\mathsf P(E)=\mathsf P(E\mid H)~\mathsf P(H)+\mathsf P(E\mid\overline H)~\mathsf P(\overline H)$$

Y así tenemos que: $$\mathsf P(H\mid E)=\dfrac{\mathsf P(E\mid H)~\mathsf P(H)\hspace{18ex}}{\mathsf P(E\mid H)~\mathsf P(H)+\mathsf P(E\mid\overline H)~\mathsf P(\overline H)}$$

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En general, cuando tenemos una secuencia de eventos, ${(B_k)}_{k=1}^n$, partición del espacio muestral (es decir: son disjuntos a pares y exhaustiva), a continuación, de forma similar:

$$\begin{split}\mathsf P(E) &=\mathsf P(E\cap\bigcup_{k=1}^n B_k)\\ &=\sum_{k=1}^n \mathsf P(E\mid B_k)\,\mathsf P(B_k)\end{split}$$