¿Posible error en la prueba del límite?

Question

Por favor si alguien con suficiente reputación pudiera mostrar mi imagen sería genial.

En esta pregunta límite, en el punto donde dice:

Tome el límite como $n \rightarrow \infty$ Realmente no sigo la lógica en absoluto. Ya que $a \in (0,1)$ entonces como $n \rightarrow \infty$ , $|f(x)-f(a^nx)| \rightarrow |f(x)-f(0)|$ ¿confundieron $f(0)$ con $0$ ? Porque si no, ¿cómo se pasa de $$|f(x)-f(0)| \leq \frac{\epsilon}{1-a} |x|$$ a $$|f(x)| \leq \frac{\epsilon}{1-a} |x|$$

También es muy extraño que no se haya utilizado la primera propiedad.

Answer 1

Deberías tener, por $x$ bastante grande,

$$|f (x)|=|f (x)-f (0)+f (0)|\le $$ $$|f (x)-f (0)|+|f (0)|\le$$

$$ \frac {\epsilon}{1-a}|x|+|f (0)|$$

así

$$\frac{|f (x)|}{|x|}\le \frac {\epsilon}{1-a}+\frac {|f (0)|}{|x|} $$

y utilizar el hecho de que $$\lim_{x\to+\infty}\frac {|f (0)|}{|x|}=0$$

No necesitas la primera hipótesis.