Considere la siguiente generalización de la esperanza condicional:
Comience con espacios medibles $A,B$ equipado con medidas de $\mu_A, \mu_B$, respectivamente, y un medibles mapa de $T : A \to B$ s.t. $\mu_A \circ T^{-1} \leq C \mu_B$ algunos $C > 0$ (es decir, esta desigualdad se cumple evento-wise).
A continuación, $T$ induce (en un functorial, contravariante manera) lineal mapa
$$\mathcal L_2(T) : \mathcal L_2(B,\mu_B) \to \mathcal L_2(A,\mu_A), g\mapsto g\circ T.$$
De hecho
$$\|g\circ T\|_2 = \int g(Tx)^2\,d\mu_A(x) \leq \int g(y)^2 \,dC\mu_B(y) = C\|g\|_2,$$
lo que muestra que $\mathcal L_2(T)$ está bien definido y delimitado con el operador de la norma $\leq C$ (de hecho, es una isometría si $\mu_A \circ T^{-1} = \mu_B$).
A continuación, $\mathcal L_2(T)$ tiene un adjunto operador $\mathbb E^T$.
Si consideramos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ y sub-$\sigma$-álgebra $\mathcal G$$\mathcal F$. y el conjunto de $A = (\Omega,\mathcal F)$, $B = (\Omega, \mathcal G)$, $\mu_A = \mathbb P$, $\mu_B = \mathbb P_{|\mathcal G}$ y $T(t) = t$, la definición de la propiedad de adjoints implica
$$\mathbb E(\mathbb E^T X \cdot \mathbb 1_B) = \mathbb E(X\cdot \mathbb 1_B)$$
para todos los $B\in \mathcal G$. Por lo $\mathbb E^T$ es la esperanza condicional de $X$ w.r.t. $\mathcal G$.
Hay ejemplos importantes de $\mathbb E^T$ además de la esperanza condicional?
