Tengo que probar: $$\sum_{k=0}^{n} {k\choose 2}\cdot{{n-k}\choose 2} = \sum_{k=0}^{n} {k\choose 3}\cdot(n-k).$$
Yo no era capaz de tener algún progreso con el álgebra, traté de pensar en una combinatorical prueba:
Imaginemos que hay $n$ personas en una fila y tenemos que elegir el $4.$ Una forma será sacar el $k$ "leftest" a la gente, elija $2$ de ellos, y elija $2$ de la $n-k$ a la izquierda. De esa manera obtenemos la izquierda de la suma.
La segunda forma será similar, mira el "leftest" $k$ personas y elija $3$ de ellos, y, a continuación, elija $1$ de la $n-k$ a la izquierda. Que le da el lado derecho de la ecuación.
El único problema con esta prueba es que algunas de las opciones que se cuentan dos veces más, por lo que no es igual a ${n\choose 4.}$
Alguien puede ayudarme por favor? Me encantaría ver tanto algebric y combinatorical pruebas.
