Resolución de funciones hiperbólicas

Question

Tengo 2 preguntas con respecto a la solución de las funciones hiperbólicas. He presentado mi las soluciones actuales para la mejor de mi capacidad.

P1: Mostrar que la solución real $x$ $\tanh(x) = \operatorname{csch}(x)$ puede ser escrita en la forma $x=\ln(u)+ \sqrt{u},$ donde $u$ está por determinarse.

Mi intento: escribir $\tanh x =\operatorname{csch}(x)$ \begin{align*} \dfrac{\sinh(x)}{\cosh (x)}&= \dfrac{1}{\sinh(x)}\iff \\ \sinh^{2}(x)&=\cosh(x)\iff \\ \cosh ^{2}(x)-1&= \cosh(x) \iff\\ \cosh ^{2}(x)- \cosh(x)-1&=0 \iff \\ \cosh(x)&= \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}. \end{align*}

Escrito $\cosh(x) =\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$,$ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} \iff e^{2x}-(1+\sqrt{5})e^{x}+1=0$. Estoy en el camino correcto? Esto es donde estoy atascado porque aplicando la fórmula cuadrática para resolver por $e^{x}$ produce un doble de la raíz cuadrada.

P2: Solucionar $\cosh(4x)+4\cosh(2x)-125=0$.

Mi intento: mediante el uso de las identidades $\cosh(4x)= \cosh^{2}(2x)+ \sinh^{2}(2x)$ $\sinh^{2}(2x)=1+\cosh^{2}(2x)$ y sustituyendo en la ecuación original y simplificando, se obtiene: $$\cosh^{2}(2x)+ 2\cosh(2x)-62=0.$$ Resolver, obtenemos $\cosh(2x)=-1+3\sqrt{7}$ o $\cosh(2x)=-1-3\sqrt{7}$. Como en el problema anterior, estoy atascado pero estoy en el camino correcto?

Answer 1

Usted está en el camino correcto: la fórmula cuadrática le dice que $$ e^x=\frac{1+\sqrt{5}\pm\sqrt{(1+\sqrt{5})^2-4}}{2}= \frac{1+\sqrt{5}\pm\sqrt{2(1+\sqrt{5})}}{2} $$ Si establece $u=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, entonces se obtiene ya sea $$ e^x=u+\sqrt{u} $$ o $$ e^x=u-\sqrt{u} $$ En el otro lado $$ u-\sqrt{u}=\frac{u^2-u}{u+\sqrt{u}}=\frac{1}{u+\sqrt{u}} $$ Así que la primera solución es $$ x=\ln(u+\sqrt{u}) $$ y la segunda solución es $$ x=-\ln(u+\sqrt{u}) $$ El positivo de la solución real de la ecuación es el formulario establecido. Observe que $$ \frac{\sinh (x)}{\cosh(-x)}=-\frac{\sinh x}{\cosh x} \qquad \frac{1}{\sinh (x)}=-\frac{1}{\sinh x} $$ por lo que cualquier solución positiva es acompañado por una negativa.

Tanto en los problemas 1 y 2, el negativo de la solución para $\cosh x$ debe ser desechado.

Answer 2

Si $\cosh(x) = y$, entonces, como indica, $e^x+e^{-x} = 2y$ o $e^{2x}-2ye^x+1 = 0$.

De problemas, $e ^ x = \dfrac{2y\pm\sqrt{4y^2-4}}{2} = y\pm\sqrt {y ^ 2-1} $ o $ =\ln(y\pm\sqrt{y^2-1}) de $x.

Si $y^2-1 = y$ (es decir, $y = \dfrac {1\pm\sqrt {5}} {2} $), entonces el $x=\ln(y\pm\sqrt{y})$.