El suyo es un muy interesante y sutil pregunta, que a menudo genera confusión. En primer lugar vamos a dar un nombre a la propiedad que usted está interesado en: un anillo de $A$ dijo que satisfacer (DIM) si para todas las $\mathfrak p \in \operatorname{Spec}(A)$ tenemos $$\operatorname{height}(\mathfrak p) +\dim A/\mathfrak p=\dim(A) \quad \quad (\text{DIM})$$
El principal error es creer que esto se desprende de catenarity:
Hecho 1: Un anillo de la catenaria, o incluso un universal de la catenaria anillo, no satisface a (DIM) en general.
Contraejemplo: Vamos a $(R,\mathfrak m)$ ser un discreto anillo de valoración cuyo máximo ideal ha uniformizing parámetro $\pi$, es decir,$\mathfrak m =(\pi)$. Deje $A=R[T]$, el polinomio anillo de más de $R$. El anillo de $A$ tiene dimensión $2.$, para la máxima ideal $\mathfrak p=(\pi T-1)$, la relación (DIM) es falsa:
$\operatorname{height}(\mathfrak p)+\dim A/\mathfrak p= 1+0=1\neq 2=\dim (A)$.
Y esto incluso si $A$ es tan bonito como puede ser: integral, de dominio, noetherian, regular, universalmente catenaria,...
Felizmente aquí hay dos resultados positivos:
Hecho 2: Un finitely generado integral álgebra sobre un campo satisface (DIM) (y es universalmente catenaria).
Así que, por la algebro-geométrico diccionario, una variedad afín $X$ tiene la agradable propiedad de que para cada subvariedad integral $Y\subset X$ tenemos, como se esperaba, $\operatorname{dimension}(Y) + \operatorname{codimension}(Y)$ $=$ $\operatorname{dimension}(X).$
Hecho 3: Cohen-Macaulay anillo local satisface (DIM) (y es universalmente catenaria).
Por ejemplo regular de un anillo de Cohen-Macaulay. Este "explica" por qué mi contra-ejemplo anterior no era local.
La paradoja se resuelve. ¿Cómo es posible que una catenaria anillo de $A$ no satisfacer (DIM)? Aquí es cómo. Si usted tiene una inclusión de dos primos $\mathfrak p\subsetneq \mathfrak q$ catenarity dice que se puede completar a una saturados de cadena de números primos
$\mathfrak p\subsetneq \mathfrak p_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak p_{r-1} \subsetneq \mathfrak q$ y que todas esas terminaciones tendrá la longitud de la misma longitud $r$. Bien. Pero ¿qué se puede decir si usted tiene sólo un primer $\mathfrak p$ ? No mucho! La catenaria anillo de $A$ puede tener dimensión $\dim(A) > \operatorname{height}( \mathfrak p) +\dim(A/\mathfrak p)$ porque posee una larga cadena de números primos evitar el prime $\mathfrak p$ en total. En mi contraejemplo por encima de la única saturados de cadena de números primos que contienen a$\mathfrak p=(\pi T-1)$$0\subsetneq \mathfrak p$. Sin embargo, el anillo de $A$ tiene dimensión 2 debido a la saturados de cadena de números primos $0\subsetneq (\pi) \subsetneq (\pi,T)$, lo que evita la $\mathfrak p$.
Adenda. He aquí por qué el ideal de $\mathfrak p$ en el contra-ejemplo es máxima. Tenemos $A/\mathfrak p=R[T]/(\pi T-1)=R[1/\pi]=\operatorname{Frac}(R)$, dado que la fracción de campo de una discreta valoración anillo puede ser obtenida sólo por la inversión de un uniformizing parámetro. Por lo $A/\mathfrak p$ es un campo y $\mathfrak p$ es máxima.
