¿Cuál es la fórmula $\frac{(x+y)^n}{x}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(x-ak)^{k-1}(y+ak)^{n-k}$, $a$? ¿Qué lleva esta fórmula?

Question

Me gustaría saber más acerca de esta fórmula (a través de la página web del Centro en todo el mundo de las matemáticas ):

$$\frac{(x+y)^n}{x}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(x-ak)^{k-1}(y+ak)^{n-k}$$

¿Qué es $a$? ¿La fórmula tiene un nombre?

También, me gustaría algunas referencias, si es posible. ¡Gracias!

Answer 1

Esta identidad es debido a Abel, y fue presentado por primera vez en [1]. No hay más discusión en [2], disponible en línea aquí. Que el artículo se refiere a esta fórmula como una "Abel-tipo de generalización del teorema del binomio," pero Abel había varios similares generalizaciones en su primer papel. Ver el Wolfram MathWorld Artículo para más. Wikipedia incluso se refiere a diferentes generalización como "Abel" Teorema del Binomio.".

Te voy a dar un resumen rápido. Dejando $\frac{d}{dx}$ a ser el operador de la derivada, los polinomios $x^n$ jugar muy bien con respecto a $\frac{d}{dx}$ porque $\frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1}$ es un polinomio de grado menor. Esto le permite expresar un polinomio arbitrario en términos de su $x^k$ a través de su serie de Taylor, $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{((\frac{d}{dx})^kf)(0)}{k!} x^k.$$

Dejando $f(x)=(x+y)^n$, podemos obtener una prueba directa del teorema del binomio.

Ahora, en lugar de $x^n$, considere la serie de polinomios dados por $$ A_n(x,z)=x(x+kz)^{k-1} $$ Tenga en cuenta que $A_n(x,z)$ tiene el grado $n$ con respecto al $x$, e $A_n(x,z)$ juega muy bien con la diferenciación en el sentido de que $$ \frac{d}{dx}A_n(x,z)=nA_{n-1}(x+z,z) $$ así que, de nuevo, el derivado tiene un menor grado. Esto permite probar una variante para escribir cualquier polinomio en términos de $A_k(x,z)$: $$ f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{((\frac{d}{dx})^kf)(-kz)}{k!} A_k(x,z) $$ Si sustituye el $f(x)=(x+y)^n$, e $z=a$, entonces el teorema se le preguntó acerca de la cae.

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Este fenómeno es mucho más general. Por ejemplo, supongamos $\Delta_1$ ser la diferencia finita operador $\Delta_1(f)=f(x+1)-f(x)$. A continuación, la secuencia de polinomios $p_n(x)=x(x-1)(x-2)\cdots x(x-n+1)$ juega muy bien con $\Delta_1$, porque de nuevo tenemos $\Delta_1(p_n(x))=np_{n-1}(x)$ es un polinomio de grado menor. La misma lógica implica que cualquier polinomio se puede escribir en términos de los polinomios $p_k(x)$ $$ f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(\Delta_1^k\,f)(0)}{k!} p_k(x) $$ Además, dejando $f(x)=p_n(x+y)$, se obtiene la sorprendente identidad $$ p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n \binom{n}k p_k(x)p_{n-k}(y)\tag1\label1 $$ Las secuencias de los polinomios que satisfacen $\eqref1$ son conocidas como secuencias de tipo binomial, y su teoría es bien entendido, ver su página de Wikipedia.

[1]: N. H. Abel, Beweis eines Ausdruckes, von cualquiera que sea morir binomial-Formel ein einzelner Fall ist, J. reine angew.De matemáticas.1,págs. 159-160(1826)

[2]: Kuriyama, K., & Furuichi, S. (2014). GENERALIZADA DE LAS DIFERENCIAS Y DE ABEL TIPO BINOMIAL TEOREMAS. Revista internacional de la Pura y Matemática Aplicada, 96(2). https://doi.org/10.12732/ijpam.v96i2.3