Esta es una pregunta muy básica sobre el valor inicial y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. A la hora de resolver un PIV, con $y$ como la variable dependiente y $t$ como la variable independiente (dado un conjunto de condiciones iniciales $y(0)$, $y'(0)$,...), ¿por qué nos "integrar hacia adelante" en el tiempo? Es decir, en una ingeniería/física contexto, el autor suele decir algo en la línea de $y(t)$ se puede encontrar para $t > 0$ (o, en general $t > t_0$ donde $t_0$ es el punto en el que la condición inicial es especificado). No esta suponer que el resultado fue cero o indefinido antes de que la condición inicial? Matemáticamente, no podemos simplemente así encontrar $y$ $t = 0$ si se nos da un conjunto de condiciones iniciales?
Respuestas
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Si uno examina cuidadosamente la habitual declaración y prueba de la Picard-Lindelof Teorema, que es el estándar de resultados de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, uno ve que una solución es normalmente seguro que en algún intervalo $I = (t_0 - a, t_0 + a)$, donde la condición inicial para
$\dot x = f(x, t) \tag 1$
se especifica en $t_0$:
$x(t_0) = x_0; \tag 2$
por lo tanto, no hay nada esencial sobre el "adelante" de la solución $x(t)$, $t \ge t_0$; es realmente una curva integral $x(t)$ través $(t_0, x_0)$ que es abordado por la teoría fundamental, que no dice nada intrínseco sobre el "sentido del tiempo". Así que el hecho de que, en las aplicaciones prácticas, nos gusta pensar en cosas como partir en algunos $t = t_0$ y, a continuación, la "evolución" en una dirección en el futuro, se basa realmente en nuestra elección de punto de vista. De hecho, en las más avanzadas teorías físicas, tales como la electrodinámica cuántica, la noción de movimiento "hacia atrás en el tiempo" juega un fundamental y útil función.
