Esta pregunta se parece más específicos y claros, pero la motivación viene de un problema estoy tratando de resolver en la teoría de juegos. Espero que alguien pueda ayudar, ya que sólo requiere de álgebra lineal!
Deje $H$ ser un verdadero invertible la matriz, descompuesto en simétrica y antisimétrica partes como $H = S+A$. Suponga que $S$ es positivo semi-definida, y que existe una simultánea autovector $u$ $S$ $A$ tal que $Su = 0$ $Au = \lambda u$ con cero (imaginario puro) $\lambda$. Probar o refutar que $u$ también es un autovector de a $S_d$, la sub-matriz de $S$ compuesta de sus diagonales sólo una parte.
Puedo ni probar este ni encontrar un contra-ejemplo. Es definitivamente cierto para matrices de 2x2, y creo que también para el 3x3. En el caso general, el aviso de que $u$ también es un autovalor de a $H$ desde $Hu = Au = \lambda u$. [En el supuesto de que $\lambda \neq 0$ es superfluo desde $H$ es asumido invertible.] He intentado utilizar un criterio sobre la posibilidad de una matriz de tener autovalores imaginarios puros, por ejemplo, que existe un rango de-1 de la matriz $M$ tal que $HM$ es antisimétrica (ref). También he probado a usar una relación entre los vectores propios y los elementos de la diagonal de un diagonalisable de la matriz (ref). Yo no llegará muy lejos.
