¿Cómo utilizar el análisis dimensional para encontrar estas integrales?

Question

Utilice el análisis dimensional para encontrar $\displaystyle \int_0^∞ \mathrm{e}^{-ax} \,\mathrm{d}x$ y $\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{x^2 + a^2}$ . Un resultado útil es $$ \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + 1} = \arctan x + C. $$

Estoy utilizando el libro llamado street mathematics para aprender más sobre el análisis dimensional. Estoy tratando de entender un problema en el libro. La pregunta es usar el análisis dimensional para encontrar las soluciones de dos integrales. ambas están en la foto adjunta.

Intenté comprender la cuestión y la mejor manera de abordarla, pero no lo conseguí.

Answer 1

Comience por dar dimensiones simples a $x$ , digamos que $[x] = L$ , la longitud (el autor utiliza $[x]$ para denotar la dimensión de $x$ ). Funciones como la exponencial y el seno/coseno toman cantidades adimensionales como entrada y dan cantidades adimensionales como salida. Esto significa que $[a][x]=1$ (sin dimensiones), o $[a] = \dfrac{1}{L}$ , $[e^{-ax}]=1$ (sin dimensiones), y $[dx]=L$ .

Desde $a$ es un parámetro en $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-ax}dx$ el valor de la integral depende de $a$ . La integral tiene unas dimensiones de $L$ lo que nos lleva a intentar construir una respuesta a partir de $a$ con esas dimensiones. La única opción con las dimensiones correctas es $\dfrac{1}{a}$ :

$$\int_0^{\infty} e^{-ax}dx =\dfrac{C}{a}$$

donde $C$ es un número adimensional.

Answer 2

Llamar a esto "análisis dimensional" no es exacto. Creo que la idea detrás de esto es que si cambias la "dimensión" de la variable, multiplica el valor por una constante. Si eliges bien la constante, entonces simplifica la integral a una conocida (por eso te da una de las integrales simplificadas - supongo que la otra integral ya estaba cubierta).

Sin embargo, esto es sólo una forma muy limitada de lo que es un truco bien conocido y sencillo: la sustitución.

En la primera integral, cambiamos las unidades en $x$ para equilibrar exactamente el $a$ - es decir, $ax$ se convierte en $x$ en las nuevas unidades. Para hacer esto un poco más claro, vamos a llamar a la variable en la nueva unidad $u$ . Así que $u = ax$ . Asumiendo que $a > 0$ (si no lo es, la integral no converge), Cuando $x = 0, u = a(0) = 0$ y cuando $x = \infty, u = a(\infty) = \infty$ . Ahora los pequeños cambios en $x$ inducir pequeños cambios en $u$ que son $a$ veces más grande: $du = a\,dx$ . Así que la integral se convierte en $$\int_0^\infty e^{-ax}\,dx = \int_0^\infty e^{-u}\,\frac{du}a = \frac 1a \int_0^\infty e^{-u}\, du =\frac 1a (1) = \frac 1a$$

Para el segundo, si tiramos de $a^2$ de la parte superior e inferior de la fracción, obtenemos $$\int \dfrac{\frac{dx}{a^2}}{\frac{x^2}{a^2} + 1} = \int\dfrac{\frac 1ad\left(\frac xa\right)}{\left(\frac xa \right)^2 + 1}$$

El resto se lo dejo a usted.