¿Puede esto ser computado analíticamente?

Question

¿Para incluso los valores de $n$, la siguiente se puede probar analíticamente?

$$(n+1)\binom{n}{\frac{n}2}\int{\frac12}^1[x(1-x)]^{\frac{n}2}dx=\frac12$$ I cannot seem to compute this analytically. Is it possible? I can compute this numerically for various values of $n$: In [202]: from sympy import binomial as bnm; from numpy import power as pw In [203]: wp=lambda n=10: (n+1)bnm(n,int(n/2))I(lambda x:pw(x*(1-x),int(n/2)),1/2,1) In [204]: wp(n=18),wp(20),wp(26),wp(32),wp(42),wp(48),wp(52) Out[204]: (0.500000000000000, 0.500000000000000, 0.500000000000000, 0.500000000000000, 0.500000000000000, 0.500000000000001, 0.500000000000000) Please note that this question is not a duplicate of [Prove: $\binom{n}{k}^{-1}= (n +1) \int {0} ^ {1} x ^ {k}(1-x) ^ {n-k} dx $ for $0 \leq k \leq n$

La razón por la que esta pregunta no es un duplicado de esa pregunta es los límites de integración diferentes. Los límites de integración diferentes alteran completamente la pregunta, así como la solución.

](https://math.stackexchange.com/questions/86542/prove-binomnk-1-n1-int-01xk1-xn-kdx-for-0-leq-k-le)

Answer 1

If

$$I=\int_{\frac12}^1(x(1-x))^n\,dx$$

muestra el cambio de la variable $x\mapsto 1-x$

$$I=\int_0^{\frac12}(x(1-x))^n\,dx$$

y por lo tanto

$$2I=\int_0^1(x(1-x))^n\,dx.$$

Ahora uso la función Beta para demostrar que

$$I=\frac12\frac{\Gamma^2(n+1)}{\Gamma(2n+1)}=\frac12\frac1{(2n+1)\binom{2n}n}.$$

Answer 2

Puesto que sólo le interesa incluso $n$, así usted puede preguntar si

$$(2m+1){2m\choose m}\int_{1/2}^1(x(1-x))^m\,dx={1\over2}$$

Que $x=(1+u)/2$ y mantener solamente el integral en el lado izquierdo cambia la identidad para probar en

$$I(m)=\int_0^1(1-u^2)^m\,du={4^m\over(2m+1){2m\choose m}}$$

Esto puede demostrarse por inducción. Sin duda tenemos

$$I(0)=\int_0^1du=1={4^0\over(2\cdot0+1){0\choose0}}$$

y la integración por partes se da

$$\begin{align} I(m+1)&=\int_0^1(1-u^2)^{m+1}\,du\ &=u(1-u^2)^{m+1}\Big|_0^1+2(m+1)\int_0^1u^2(1-u^2)^m\,du\ &=2(m+1)\int_0^1(1-(1-u^2))(1-u^2)^m\,du\ &=2(m+1)(I(m)-I(m+1)) \end {Alinee el} $$

por lo tanto

$$(2m+3)I(m+1)=2(m+1)I(m)={2(m+1)4^m\over(2m+1){2m\choose m}}={4^{m+1}\over{2(m+1)\choose m+1}}$$

La igualdad final aquí se verifica mediante la observación de

$${1\over4}{2m+2\choose m+1}={(2m+2)(2m+1)(2m)!\over4(m+1)^2(m!)^2}={2m+1\over2(m+1)}{2m\choose m}$$

Esto completa la inducción.

Answer 3

$$I=\frac{(n+1)n!}{2(\frac{n}{2})!}\int{\frac{1}{2}}^{1}{[x(1-x)]^\frac{n}{2}}dx=\frac{(n+1)!}{2(\frac{n}{2})!}\int{\frac{1}{2}}^{1}{[x(1-x)]^\frac{n}{2}}dx$ $ así que si $$(1-x)^\frac{n}{2}=1-\frac{n^2x^2}{2^2.2!}-\frac{3n^3x^3}{2^3.3!}$$ etc so follow up by multiplying by $ x^\frac{n}{2}$ to get the summation then switch the order of the summation and integral. The result should then nicely cancel with $\frac{(n+1)!} {2(\frac{n}{2}).} $

Answer 4

La integral se convierten en una repetición, utilizando integración por partes.

$$ I_n = \int_0^1 [x(1-x)] ^ dx\ n u'=1,u(x)=1,v(x)=[x(1-x)]^n,v'(x)=n(1-2x)[x(1-x)] ^ {n-1} \ =x[x(1-x)]^n|_0^1-n\int_0^1(x-2x^2)[x(1-x)] ^ {n-1} \ dx\ =-n\int_0^1\left(-\frac12+\frac12(1-2x)+2(x-x^2)\right)[x(1-x)] ^ \,dx$$ {n-1} los tres términos se relacionan con $In$ $I{n-1}$, y eventualmente se puede reducir a $I_0=1$