La distancia más corta entre la parábola y el punto

Question

Encuentra la distancia más corta entre la parábola definida por $y^2 = 2x$ y un punto $ E:= (1.5, 0)$ .

No puedo utilizar la fórmula de la distancia porque me falta un conjunto de puntos $(x, y)$ para enchufar. Así que, en su lugar, tengo una normal que pasa por el punto $E$ de la parábola. Que es la definición de la distancia más corta a un punto.

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

La pendiente de la normal es $\frac{1}{y_1}$ utilizando la diferenciación implícita y ahí es donde me atasco, porque le meto el punto E y me sale

$$y_1^2=x_1-1.5$$

¿Cómo puedo demostrar que la distancia más corta es $\sqrt{2}$ ?

Answer 1

Dado un punto $P=\left(\frac{y^2}2,y\right)$ de su parábola, considere el segmento de línea que une $P$ a $C=\left(\frac32,0\right)$ . La pendiente de este segmento de recta es $\frac{2y}{y^2-3}$ . Y la pendiente de la tangente a la parábola en $P$ es $\frac1y$ . Dado que dos líneas son ortogonales si y sólo si una de ellas es horizontal y la otra es vertical o cuando el producto de sus pendientes es $-1$ estas líneas son ortogonales si y sólo si $y=0$ o $\frac2{y^2-3}=-1$ lo que significa que $y=0$ o que $y=\pm1$ . Olvídate de $0$ : es un máximo local. Entonces, la distancia de la parábola a $C$ es $$\left\|\left(\frac12,1\right)-\left(\frac32,0\right)\right\|=\sqrt2.$$

Answer 2

Para un punto $(x,y)$ en la parábola tenemos que

$$d^2=(y-0)^2+\left(x-\frac32\right)^2=y^2+x^2-3x+\frac94=x^2-x+\frac94$$

y el mínimo se alcanza para $x=\frac12$ por lo tanto, en el punto $(\frac12,1)$ y por lo tanto

$$d=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2$$

Answer 3

Cualquier punto de la parábola es del tipo $(x,Y)$ con $y^{2}=2x$ . La distancia entre $(x,y)$ y $(1.5,0)$ es $\sqrt (x-1.5)^{2}+y^{2}=(x-1.5)^{2}+2x$ . Hay que encontrar el valor mínimo de esta cantidad sobre todas las $x \geq 0$ . [ $x=(y^{2} /2) \geq 0$ en la curva]. Equivalentemente, puedes minimizar el cuadrado de la distancia. Diferencie y establezca la derivada igual a 0. Encontrará que el mínimo se alcanza en $x=/2$ . El valor mínimo es $\sqrt 2$ .

Answer 4

Continuando con su método: En lugar de considerar $y^2 = 2x$ , $(1.5,0)$ Considera que $y=\frac{x^2}{2}, (0,1.5)$ para mayor comodidad. La línea normal en $(x_0,y_0)$ es: $$y'=x_0 \Rightarrow y=-\frac{1}{x_0}x+y_0+1\Rightarrow y=-\frac{1}{x_0}x+\frac{x_0^2}{2}+1$$ La línea normal debe pasar por $(0,1.5)$ : $$1.5=\frac{x_0^2}{2}+1 \Rightarrow x_0=1 \Rightarrow y_0=0.5.$$ La distancia entre $(0,1.5)$ y $(1,0.5)$ es: $$d=\sqrt{(0-1)^2+(1.5-0.5)^2}=\sqrt{2}.$$

Answer 5

$y^2=2x;$

Punto en la parábola: $(x,y)$ .

Distancia^2 a $(1.5,0)$ :

$d^2:=(x-1.5)^2+(y-0)^2=$

$(x-1.5)^2+2x= x^2-x+ (1.5)^2=$

$(x-1/2)^2-1/4 +2.25.= $

$(x-1/2)^2 +2;$

Como el cuadrado es $\ge 0:$

$d_{min}=√2.$