Encontrando los dos últimos dígitos del número dado.

Question

Pregunta :

Dado $N=2^5+2^{{5}^{2}}+2^{{5}^{3}}+2^{{5}^{4}}... 2^{{5}^{2015}}$
Escrito en la forma decimal habitual, encontrar los dos últimos dígitos del número $N$ .

Mi intento :

Sabemos que cada número exponencial repite su último, últimos dos, último tercio, $ \ldots $ dígitos. Por ejemplo: dígitos de unidad de $3^n$ se repite como $3,9,7,1,3,9,7,1...$ Al aplicar esto a los dos últimos dígitos de $2^n$ tenemos
$02,04,08,16,32,64,28,56,12,24,48,96,92,84,68,36,72,44,88,76,52$ y $04,08...$ otra vez.

Esta serie repetitiva tiene $21$ números con el primero (es decir. $1$ ) ocurriendo sólo una vez.
También todos $n$ en $2^n$ ; $5,125,625...$ cuando se divide por $20$ dar $5$ como resto, así que los dos últimos dígitos serán $32,16,16,16...16$ con $16$ ocurriendo $2014$ tiempos que da $32+32224=32256$ lo que significa que los dos últimos dígitos serán $56$ pero cuando hago lo mismo con el último dígito, obtengo $0$ lo cual es una contradicción.

No puedo encontrar el error que cometí.
Gracias por encontrar mi error.

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$02,\underbrace{04,08,16,32,64,\cdots,76,52}_{20}, \underbrace{04,08,16,32,64,\cdots,76,52}_{20},\cdots$$ Para encontrar las dos últimas cifras de $n=5,25,125,...$ debes tener en cuenta: $n-1$ mod $20$ : $$\begin{align}5-1\equiv4 \pmod{20} \Rightarrow 32\\ 25-1\equiv4 \pmod{20} \Rightarrow 32\\ 125-1\equiv4 \pmod{20} \Rightarrow 32\end{align}$$ Alternativamente, puede considerar los dos últimos dígitos de $(2^5)^m=32^m:$ $$\color{red}{32};24;68;76;\color{red}{32};24;68;76;\color{red}{32};24;68;76;...$$ Desde $5m=5^n \Rightarrow m=5^{n-1}=1;5;25;125;... \Rightarrow m\equiv 1 \pmod 4$ entonces: $$\underbrace{32+32+\cdots+32}_{2015}=32\cdot 2015=64480\equiv 80 \pmod{100}.$$

Answer 2

Tenemos que evaluar

$$2^5+2^{{5}^{2}}+2^{{5}^{3}}+2^{{5}^{4}}... 2^{{5}^{2015}} \mod {100}$$

y

• $2^5=32 \mod {100}$
• $2^{5^2}=2^{10}2^{10}2^{5}\equiv24\cdot 24\cdot 32\equiv32 \mod {100}$
• $2^{5^3}=(2^{10}2^{10}2^{5})^5\equiv 32^5 \equiv 32\mod {100}$
• ...

por lo tanto

$$2^5+2^{{5}^{2}}+2^{{5}^{3}}+2^{{5}^{4}}... 2^{{5}^{2015}} \equiv2015\cdot 32\equiv 80\mod {100}$$