La comprobación de una función analítica$f$ está limitada a$|z|\le1/2$, independientemente de$f$ sujeto a ciertas condiciones

Question

Permita que$f:D(0,1) \to \mathbb C$ sea analítico. Demuestre que hay una constante$C$ independiente de$f$, de modo que si$f(0)=1$ y$f(z) \notin (-\infty,0]$ para todos$z \in D(0,1)$, entonces$|f(z)| \le C$ siempre$|z| \le 1/2$.

Finalmente (descubrí) cómo probar esto, y terminé con$C=9$. Sin embargo, tengo curiosidad por saber cuál es el "mejor" límite y cuál sería el mejor enfoque para probarlo. En otras palabras, ¿cuál es el supremo de todas las funciones analíticas$f$ sobre$|z|\le 1/2$, sujeto a las dos condiciones anteriores?

Answer 1

Tome$f(z) = \left( \dfrac{1 + z}{1 - z} \right)^2\ (|z| < 1)$, luego$f(0) = 1$ y $$ \ left | f \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ right | = \ left | \ frac {1 + \ dfrac {1} {2}} {1 - \ dfrac {1} {2}} \ right | ^ 2 = 9. $$ Por lo tanto,$9$ es de hecho el límite más ajustado.