Si $fg_n$ converge en $L^p$ para todos $f\in L^p$ alors $g_n$ converge en $L^\infty$ .

Question

Sea $(X,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio de medidas con $\mu(X)<\infty$ . Sé que si $g:X\rightarrow\mathbb{R}$ cumple que $fg\in L^p$ para todos $f\in L^p$ alors $g\in L^\infty$ .

Mi pregunta es si existe una "versión secuencial" de este resultado: si $fg_n$ converge en $L^p$ para todos $f\in L^p$ alors $g_n$ converge en $L^\infty$ . Me gustaría tener una referencia de este resultado (si es cierto).

Answer 1

La afirmación no es cierta.

Considere $X=(0,1)$ con la medida borel. y considerar las funciones $$ g_n(x) = \chi_{(0,1/n)}. $$ Tenga en cuenta que $g_n(x)\to 0$ a.e. en $\Omega$ .

Entonces para todos $f\in L^p$ se puede demostrar que tenemos $$ \| f g_n \|_{L^p}^p = \int_{(0,1/n)} |f(x)|^p \mathrm dx \to 0, $$ así que $f g_n$ converge para todo $f\in L^P$ a $0$ en el $L^p$ -norm.

Sin embargo, $g_n$ no converge a $0$ en $L^\infty$ -norma, porque $ \|g_n\|_{L^\infty} = 1 $ y utilizando la convergencia puntual, sólo $g=0$ sería posible como límite.

Alternativamente, es fácil ver que $ \|g_n - g_m\|_{L^\infty} = 1 $ para $n\neq m$ y, por lo tanto $\{g_n\}_{n\in\mathbb N}$ no es una sucesión de Cauchy en $L^\infty$ , y, por tanto, no convergente.

Answer 2

Parece que lo mejor que podemos deducir es la acotación en $\mathbb L^\infty $ de $(g_n)$ .

Sea $$ F_N:=\bigcap_{n\geqslant N}\left\{f\in\mathbb L^p\mid \left\lVert fg_n\right\rVert_p\leqslant N \right\}. $$ El conjunto $F_N$ es cerrado como intersección de conjuntos cerrados. Para ver que $\left\{f\in\mathbb L^p\mid \left\lVert fg_n\right\rVert_p\leqslant N \right\}$ está cerrado, extraiga de $\left(\left\lvert fg_n\right\rvert\right)_{n\geqslant 1}$ una subsecuencia convergente en casi todas partes y utilizar el lema de Fatou.

Dado que la unión de los conjuntos $F_N$ es $\mathbb L^p$ sabemos por el teorema de Baire que existe un $N_0$ tal que $F_{N_0}$ tiene un interior vacío. En particular, contiene una bola de radio $r$ centrado en algún $f_0$ . Puesto que para todo $f\in\mathbb L^p$ la función $$ A(f):= f_0+\frac r2\frac{1}{\left\lVert f\right\rVert_p+1}f $$ es tal que $\left\lVert A(f)-f_0\right\rVert_p\leqslant r/2$ tenemos para todo $n\geqslant N_0$ que $$\left\lVert A(f)g_n\right\rVert_p\leqslant N\mbox{ and }\left\lVert f_0g_n\right\rVert_p\leqslant N.$$ La combinación de estas estimaciones da $$\sup_{n\geqslant N_0}\left\lVert fg_n\right\rVert_p\leqslant C\left\lVert f\right\rVert_p $$
donde $C$ es independiente de $f$ .