Irracionalidad de $\pi$ otra prueba

Question

Propuesta. Dejemos que $\alpha\in\mathbb{R}$ . Si existe una secuencia de enteros $a_n,b_n$ tal que $0<|b_n\alpha-a_n|\longrightarrow 0^+$ como $n\longrightarrow \infty$ entonces $\alpha$ es irracional.

Cómo demostrar que $\pi$ es irracional utilizando esta proposición?

Conozco varias pruebas de la irracionalidad de π con el análisis complejo, pero creo que de esta manera es muy difícil.

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Por ejemplo, para demostrar la irracionalidad de $e$ considere

$$0<n!e-n!\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\right)\le\frac{1}{n}\longrightarrow0^+$$

Se agradecería cualquier pista.

Answer 1

La prueba clásica de que $\pi$ es irracional se debe a Lambert y se basa en su expresión de expansión de fracciones continuas para $\tan x$ . A continuación incluyo una prueba de que una expansión de fracción continua es irracional y la aplicación a la irracionalidad de $\pi$ . He copiado esto de unas notas que me hice hace tiempo así que espero que sean comprensibles, también puedo colgar una prueba de la expansión de Lambert si lo deseas. Las únicas referencias que conozco son viejas (muy viejas) hay un libro de álgebra en dos volúmenes de Chrystal, y un viejo libro de cálculo francés de Bertrand que tienen información sobre este material.

En la fracción continua, $$\cfrac{b_1}{a_1 - \cfrac{b_2}{a_2 - \cfrac{b_3}{a_3 - \cfrac{b_4}{a_4 -\cdots}}}} $$ suponer que donde $1+b_n \leq a_n$ para todos $n$ y que tenemos $1+b_n < a_n$ con una frecuencia infinita. Entonces la fracción es irracional. $a_n, b_n$ enteros.

Prueba Supongamos que la fracción es racional, por ejemplo $$\frac{\lambda_1}{\lambda_0}=\cfrac{b_1}{a_1 - \cfrac{b_2}{a_2 - \cfrac{b_3}{a_3 - \cfrac{b_4}{a_4 -\cdots}}}} $$ donde $\lambda_1$ y $\lambda_0$ son enteros positivos, ahora como la fracción converge a un número menor que uno, $\lambda_1 < \lambda_0$ Si ponemos $$\rho_1=\cfrac{b_2}{a_2 - \cfrac{b_3}{a_3 - \cfrac{b_4}{a_4 -\cdots}}} $$ entonces tenemos $$\frac{\lambda_1}{\lambda_0}=\frac{b_1}{a_1 -\rho_1}$$ así que $$\rho_1=\frac{a_1 \lambda_1 - b_1 \lambda_0}{\lambda_1} < 1$$ Así que $\rho_1=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ donde $\lambda_2 < \lambda_1$ .

Continuando de esta manera obtenemos una secuencia estrictamente decreciente de enteros positivos, $\lambda_0 > \lambda_1 > \cdots$ una contradicción.

[Lambert] $$\tan x=\cfrac{x}{1- \cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cdots}}}}$$

Esta expresión conduce al siguiente resultado fundamental.

Teorema [Lambert] $\pi$ es irracional.

Prueba Supongamos que $\pi$ es racional, entonces $\frac{\pi}{4}$ también es racional. Sea $$\frac{\pi}{4}=\frac{a}{b},$$ y sustituirlo por $x=\frac{\pi}{4}$ en la fracción continua de Lambert para $\tan x$ .

Obtenemos \begin {equation*} \begin {split} 1=& \cfrac { \frac {a}{b}}{1- \cfrac { \frac {a^2}{b^2 }}{3- \cfrac { \frac {a^2 }{b^2}}{5- \cfrac { \frac {a^2}{b^2}}{7- \cdots }}}} \\ &= \cfrac {a}{b- \cfrac {a^2}{3b- \cfrac {a^2}{5b- \cfrac {a^2}{7b- \cdots }}}} \\ \end {split} \end {equation*} Ahora bien, como eventualmente $nb > a^2 +1$ tenemos que esta expresión es irracional, y esto es absurdo ya que es igual a $1$ . Por lo tanto, $\pi$ es irracional.

Answer 2

De la irracionalidad y la uniformidad de $\pi$ se deduce que dicha secuencia existe. Numéricamente se podría construir fácilmente (buscar secuencias de ceros cada vez más largas en, por ejemplo, la representación binaria y utilizar la cadena antes de ese punto como $a_n$ con un $b_n$ de la forma $2^m$ ). Lamentablemente eso no le ayuda a demostrar la irracionalidad de $\pi$ .

De la definición $|b_n \alpha - a_n|\rightarrow 0$ es obvio que $\frac{a_n}{b_n}$ es una aproximación a $\alpha$ . De hecho, dejemos que $e_n=\left|\alpha - \frac{a_n}{b_n}\right|$ denotan el error del $n$ -aproximación, entonces (para un número infinito de $n$ )

$$ \begin{align} \left|b_n\alpha - a_n\right| &< \left|b_{n-1}\alpha - a_{n-1}\right| \\ \Rightarrow e_n &= \left|\alpha - \frac{a_n}{b_n}\right| \\ &<\frac{b_{n-1}}{b_n} \left|\alpha - \frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\right| \\ &=\frac{b_{n-1}}{b_n} e_{n-1} \end{align} $$

lo que implica la convergencia superlineal de $\frac{a_n}{b_n}\rightarrow\pi$ .

Lamentablemente no conozco una secuencia que converja superlinealmente a $\pi$ . Lo mejor que conozco da 16 bits por iteraciones - linealmente. Deconstruyendo tal secuencia en $a$ y $b$ tendríamos $b_n=2^{16}b_{n-1}$ y $e_n = 2^{-16}e_{n-1}$ que claramente no satisfaría la desigualdad anterior.

Aún así, como sólo conozco una pequeña fracción de todas las secuencias que convergen a $\pi$ que existen, buscando uno que satisfaga esta condición necesaria y comprobando si se puede deconstruir en $a_n$ y $b_n$ podría ser su mejor opción.

Answer 3

Si asumimos $ \pi = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^n \sqrt{n^2-(i-1)^2}]{4 \over n^2}$ (que puede obtenerse aplicando una suma de riemann sobre una función semicircular $y = \sqrt{R^2-x^2}$ en el intervalo $[0,r]$ ), tenemos una estructura como la que utilizó para $e$ Supongo que sí. No es un número entero, pero puede ser una pista.