Propiedad simétrica de las matrices definidas positivas

Question

En la definición, una matriz definida positiva suele referirse a la simétrica expresada en forma cuadrática.

1. Así que estoy confundido acerca de si es siempre simétrico?

2. ¿Por qué se hace referencia a la propiedad simétrica en su definición?

3. Por favor, dame algunos ejemplos y pruebas de este problema.

Answer 1

La mayoría de los autores definen las matrices definidas positivas como una subclase de las matrices simétricas. Esto no es necesario, pero entonces las definiciones normalmente equivalentes de las matrices definidas positivas divergen.

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Matrices positivas definidas por productos internos

Si considera que $\langle v, A v\rangle> 0,\forall v\in\Bbb R^n\setminus\{0\}$ como propiedad definitoria, entonces considere una matriz $A=S+T$ , donde $S$ es simétrica y definida positiva (no hay problema de definición porque es simétrica), y $T$ es un valor no nulo matriz asimétrica es decir $T^\top=-T$ . Entonces $A$ no es simétrica, sino positivamente definida porque

$$\def\<{\langle} \def\>{\rangle}\< v, A v\>=\<v,(S+T)v\>=\underbrace{\<v,Sv\>}_{>\, 0}+\underbrace{\<v,Tv\>}_{=\,0}> 0,\qquad\text{for all $ v \in\Bbb R^n \setminus\ {0\} $}.$$

Tenga en cuenta que $\<v,Tv\>=0$ porque $\<v,Tv\>=\<T^\top v,v\>=\<-Tv,v\>=-\<v,Tv\>$ .

Ejemplo . Tome la matriz de identidad definida positiva $I$ y la matriz asimétrica

$$S=\begin{pmatrix} \phantom+0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

A partir de esto obtenemos la matriz positiva definida pero no simétrica

$$A=I+S=\begin{pmatrix} \phantom+1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Sin embargo, los valores propios ya no son reales (son $1\pm i$ ), por lo que ya no es positivo en el sentido habitual. Sin embargo, siguen estando situados en el semiplano positivo. De todos modos, los valores propios no reales no son un problema para la propiedad definitoria, ya que tenemos $\<v,Av\>=v_1^2+v_2^2> 0$ .

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Matrices positivas definidas por valores propios

Si se define la matriz definida positiva por tener sólo valores propios positivos, entonces también hay ejemplos no simétricos. Por ejemplo, tomemos

$$A=\begin{pmatrix} \phantom+1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

que no es simétrica, pero tiene valores propios positivos $1$ y $2$ sólo.

Puedes encontrar más matrices de este tipo de la siguiente manera:

• Método 1 . Elija una base $v_1,...,v_n$ de $\Bbb R^n$ pero sin base ortogonal. En el ejemplo anterior he elegido $(1,0)$ y $(1,1)$ . A continuación, elija $n$ diferentes valores propios $\lambda_1,...,\lambda_n> 0$ . Sea $V=(v_1,...,v_n)^\top$ sea la matriz con el $v_i$ como su filas y $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ . Entonces la matriz $$A=VDV^{-1}$$ no es simétrico y sólo tiene valores propios positivos $\lambda_1,...,\lambda_n$ . El hecho de que no sea simétrico puede verse de la siguiente manera: el $v_i$ serán los vectores propios de su matriz $A$ . Pero las matrices simétricas tendrán una base ortogonal de vectores propios, mientras que nuestra matriz no (porque la hemos elegido así). Así que no puede ser simétrica.

• Método 2 . Elija una no-diagonal matriz triangular superior/inferior (sólo valores no nulos por encima/por debajo de la diagonal). Si se ponen sólo valores positivos en la diagonal, entonces esta matriz tendrá sólo valores propios positivos (ya que éstos son exactamente los valores de la diagonal), pero obviamente no es simétrica. Poniendo valores suficientemente grandes fuera de la diagonal, podemos tener valores propios positivos, aunque no se satisfaga $\<v,Av\>>0$ para todos $v\in\Bbb R^n\setminus\{0\}$ . Elija, por ejemplo $$A=\begin{pmatrix} \phantom{+10}1 & 0 \\ -100 & 2 \end{pmatrix}.$$ Esta matriz tiene de nuevo valores propios $1$ y $2$ pero $\<v,Av\>=v_1^2+2v_2^2-100v_1v_2$ Por lo tanto $v=(1,1)$ da $\<v,Av\>=-97<0$ .

Answer 2

Recordemos que cualquier matriz puede expresarse como la suma de una parte simétrica y una parte sesgada como sigue

$$A=\overbrace{\frac12(A+A^T)}^{symmetric}+\overbrace{\frac12(A-A^T)}^{skew}$$

y como la forma cuadrática de la parte oblicua es igual a $0$ tenemos que la definición positiva depende únicamente de la parte simétrica.

Answer 3

A veces se requiere simetría en la definición. Si se elimina el requisito de simetría, entonces $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$ es positiva definida, pero no simétrica.