Creo que el número de los enunciados matemáticos es countably infinito, ya que cada instrucción es una cadena finita de un número finito de símbolos, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Una vez me demuestran que puedo decir que cada una de matemáticas de la prueba con $n$ pasos es un subconjunto del producto cartesiano $A^n$ donde $A$ es el conjunto de todos los matemáticos de la declaración, y a cada elemento en el conjunto resultante es una declaración de que es un paso en la prueba. Ya que el producto cartesiano de countably conjuntos infinitos es countably infinito, entonces el conjunto de todas las pruebas con $n$ pasos es countably infinito, para cualquier $n$. Cómo puedo probar que el número de los enunciados matemáticos es countably infinito, y es el resto de la prueba correcta?
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Tenga en cuenta:
Que $S = \cup_{n \in \mathbb{Z^+}} E_n,$ $E_n$ siendo contable, $S$ es contable. (Rudin Teorema 2.12).
Considerar una longitud de la línea de $n$ caracteres.
El conjunto de $A_n$ de elementos de longitudes de línea de caracteres de $n$ es finito.
Para el conjunto de pruebas $E_n$ de la longitud de la línea de $n$ caracteres tenemos:
$ E_n \subset A_n $, es decir finita.
Por lo tanto
$S= \cup_{n \in \mathbb{Z^+}} E_n$ es contable.
Digamos que tenemos un conjunto de símbolos símbolos, $S=(s_0,...,s_{n-1})$, e $n$ elementos en $S$.
Ahora vamos a dar a cada símbolo un número entre el $0$ y $n-1$: $\forall i_{\in\Bbb N}<n(s_i\to i)$
Para cualquier cadena arbitraria $K=(k_0,...,k_m)$ de los elementos de $S$ vamos a ver el número en base $n$ creado por sus elementos como dígitos: $k_m...k_1k_0(base~n)=k_mn^m+...+k_1n+k_0$, en otras palabras, crear un bijective función de un conjunto finito de cadenas de $S$$\Bbb N$.
El número de pruebas es subconjunto de los anteriores por lo tanto es también contables
Como David señalar que este método tiene un problema: si tengo en el inicio de la cadena de $s_0$ eso no va a cambiar el número, pero le cambie la cadena ($s_0L\ne L$, pero después de la conversión de los números van a ser igual)
Así que en lugar de bijective voy a crear la función inyectiva $$K=(k_0,...,k_m)\mapsto 1k_m...k_1k_0(base~n)=n^{m+1}+k_mn^m+...+k_1n+k_0$$
El Curry–Howard correspondencia nos dice que hay un isomorfismo entre las pruebas y el programa del tipo (para cada prueba de que hay al menos un programa con el tipo correspondiente, y viceversa).
Esto significa que si el número de programas es countably infinito, así será el número de pruebas. Esto nos lleva de vuelta a la cantidad de caracteres... (pero esperemos que de una manera interesante).
Creo que el número de los enunciados matemáticos es countably infinito, ya que cada instrucción es una cadena finita de un número finito de símbolos
Además, tenga cuidado aquí. Por favor, tenga en cuenta que para cada número $n$ de símbolos que usted tiene, usted puede generar un enunciado matemático que contiene más de $n$ variables (pero todavía es de longitud finita). Por lo tanto, si cada variable se le da su propio símbolo ($x$, $y$, $z$ ,...) , podemos necesitar un infinito conjunto de símbolos. De hecho, esto es exactamente la asunción, en la lógica formal.
Ahora, por supuesto, en la práctica, podemos escribir $x_1$, $x_2$, ..., $x_9$, $x_{10}$, $x_{11}$, es decir, podemos separar variables utilizando índices, y los índices de sólo requieren un número finito de dígitos. Así que ... las pruebas (lo que todos asumen un número finito de símbolos) puede mantenerse en pie.
Sin embargo, si usted está preocupado acerca de la serie de símbolos que posiblemente tengan que ser infinito, es claro que sólo necesita ser countably infinito: Para crear cualquier frase, a veces tenemos otra variable, pero sólo podemos introducir uno de ellos en un momento, y una sentencia diferente simplemente la reutilización de dichas variables.
Lo más interesante es que el número finito de cadenas puede generar el uso de una contables conjunto de símbolos es todavía contables así.
Para ver esto, en primer lugar puede demostrar que el conjunto de $S_1$ de todas las cadenas de longitud $1$ es contable (y por supuesto que lo es! Esto es, básicamente, el conjunto de símbolos propios).
A continuación, podemos mostrar que el conjunto de $S_2$ de todas las cadenas de longitud $2$ son contables mediante la concatenación de dos cadenas de longitud $1$. Es decir, podemos tomar el producto Cartesiano de a $S_1 \times S_1$, y respecto de cada entrada $(s_i, s_j)$ como la cadena de $s_is_j$, y al parecer, usted ya sabe que
el producto cartesiano de countably conjuntos infinitos es countably infinito
Con eso, entonces también puede mostrar el conjunto de todas las cadenas de longitud $3$ a ser contables, ... y, de hecho, el uso de la inducción se puede demostrar que para cualquier $n$: el conjunto de $S_n$ de todos finito de cadenas de longitud $n$, generado a partir de un conjunto infinito contable de los símbolos $S$, es contable. Por último, usted necesita demostrar que la unión de todos los conjuntos
$$U=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$$
es contable, pero que es fácil de hacer, poniendo todas las entradas en una mesa grande ($S_{i,j}$$j$- ésima de la enumeración de todas las cadenas en $S_i$), y en zig-zag a través de la tabla.
Así que finalmente, ya que todas las pruebas son un subconjunto de a $U$, que el conjunto es contable así.
