Confundido sobre qué espacios Hölder son Banach

Question

Si$\Omega$ es un conjunto abierto en$\mathbb{R}^n$, ¿el espacio de Hölder es$C^{k, \alpha}(\Omega)$ Banach? ¿O solo es que$C^{k, \alpha}(\overline{\Omega})$ es Banach, al igual que con las funciones continuas ordinarias? Si no, ¿por qué es eso? Las normas son$$|f|_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega ,\ x \neq y} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha},$ $$$|f|_{C^{k, \alpha}} = \|f\|_{C^k}+\max_{| \beta | = k} | D^\beta f |_{C^{0,\alpha}}$ $ donde$$|f|_{C^k} = \max_{| \beta | \leq k} \, \sup_{x\in\Omega} |D^\beta f (x)|$ $

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Tenga en cuenta que todos los $g\in C^{k,\alpha}(\Omega)$ $\beta\in\mathbb{N}_0^k$ hemos $$ \Vert \partial^\beta g\Vert_{C_b(\Omega)}\leq\Vert g\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}\etiqueta{1} $$ $$ |\partial^\beta g|_{C^{0,\alpha}}\leq \Vert g\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}\etiqueta{2} $$

Deje $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ ser una secuencia de Cauchy en $C^{k,\alpha}(\Omega)$, entonces para todos los $\varepsilon>0$, $N\in\mathbb{N}$ tal que $m,n>N$ implica $$ \Vert f_n-f_m\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}<\varepsilon\etiqueta{3} $$ Revisión multi-índice de $\beta\in\mathbb{N}_0^k$ tal que $|\beta|\leq k$. De $(1)$ $(3)$ se sigue que, para todos los $\varepsilon>0$, $N\in\mathbb{N}$ tal que $m,n>N$ implica $\Vert \partial^\beta f_n-\partial^\beta f_m\Vert_{C_b(\Omega)}<\varepsilon$. Esto significa que $\{\partial^\beta f_n: n\in\mathbb{N}\}$ es una secuencia de Cauchy en $C_b(\Omega)$. Desde $C_b(\Omega)$ es completa, a continuación, $\{\partial^\beta f_n: n\in\mathbb{N}\}$ converge a alguna función en $C_b(\Omega)$. Por $\varphi$ denotamos límite de$\{ f_n:n\in\mathbb{N}\}$$C_b(\Omega)$.

Ahora vamos a utilizar el siguiente resultado estándar

Deje $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}\subset C(\Omega)$ ser una familia de funciones diferenciables, de tal manera que

1) la secuencia de $\{\partial_{x_i}f_n:n\in\mathbb{N}\}$ converge en $C_b(\Omega)$$g\in C_b(\Omega)$.

2) para algunos el punto de $x\in\Omega$ la secuencia de $\{f_n(x_0):n\in\mathbb{N}\}$ es convergente

A continuación, $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ converge en $C_b(\Omega)$ a alguna función derivable $f\in C_b(\Omega)$, y por otra parte $\partial_{x_i} f=g$.

Usando este resultado y la inducción de múltiples índices se puede demostrar que para todos los $\beta\in\mathbb{N}_0^k$ $|\beta|\leq k$ la secuencia de $\{\partial^\beta f_n:n\in\mathbb{N}\}$ converge uniformemente a $\partial^\beta \varphi$. Esto significa que $$ \lim\limits_{n\to\infty}\Vert f_n-\varphi\Vert_{C^k(\Omega)}=0\etiqueta{4} $$ De $(2)$, $(3)$ y deinition de $|\cdot|_{C^{0,\alpha}(\Omega)}$ se sigue que, para todos los $\beta\in\mathbb{N}_0^k$ $|\beta|= k$ y todos los $x,y\in\Omega$ tal que $x\neq y$ hemos $$ \frac{|\partial^\beta f_n(x) - \partial^\beta f_m(y)|}{|x-y|^\alpha}<\varepsilon $$ Tomemos $m\to\infty$ en esta desigualdad, obtenemos $$ \frac{|\partial^\beta f_n(x) - \partial^\beta \varphi(y)|}{|x-y|^\alpha}<\varepsilon $$ Desde $\beta\in\mathbb{N}_0^k$ $|\beta|= k$ $x,y\in\Omega$ tal que $x\neq y$ son arbitrarios, podemos decir que $$ \max\limits_{|\beta|=k}|\partial^\beta f_n-\partial^\beta \varphi|_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\varepsilon $$ Por tanto, para todos $\varepsilon>0$ tenemos $N\in\mathbb{N}$ tal que $n>N$ implica $$ \max\limits_{|\beta|=k}|\partial^\beta f_n-\partial^\beta \varphi|_{C^{0,\alpha}(\Omega)}<\varepsilon $$ Esto significa que $$ \lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{|\beta|=k}|\partial^\beta f_n-\partial^\beta \varphi|_{C^{0,\alpha}(\Omega)}=0\etiqueta{5} $$ De $(4)$ $(5)$ se sigue que $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ converge a$\varphi$$C^{k,\alpha}(\Omega)$. Desde que se demostró que la arbitraria secuencia de Cauchy en $C^{k,\alpha}(\Omega)$ es convergente, entonces $C^{k,\alpha}(\Omega)$ es completa.

Prueba de la integridad de $C^{k,\alpha}(\overline{\Omega})$ es discutido ya en los comentarios.

Answer 2

Solo para que se dé cuenta, si ambas anotaciones$C^{k, \alpha}(\Omega)$ y$C^{k, \alpha}(\bar{\Omega})$ se usan en el mismo libro, existe la posibilidad de que sean realmente diferentes. Este último es el espacio de Banach que tienes en mente. El primero puede significar un espacio local de Hölder, que es $$ C ^ {k, \ alpha} (\ Omega) = \ {u \ en C (\ Omega): \ textrm {para cualquier conjunto compacto} K \ subconjunto \ Omega , u \ en C ^ {k, \ alpha} (K) \}. $$ Este es un espacio de Fréchet, y la situación es, por supuesto, análoga a la diferencia entre$C(\Omega)$ y$C(\bar\Omega)\equiv C_b(\Omega)$.