Rompecabezas funcional: encontrar $f(2)$

Question

Aquí hay un pequeño rompecabezas que se me ocurrió, para quien quiera probarlo:

Una función $f$ satisface $$f(x)=xf(x^2-3)-x$$ para todos $x$ . ¿Cuál es el valor de $f(2)$ ?

Answer 1

Observamos que $f$ es impar, como tenemos claramente $f(-x)=-f(x)$ .

Dejar $x=2$ produce $$f(2)=2f(1)-2$$

Dejar $x=1$ produce $$f(1)=f(-2)-1=-f(2)-1$$

Combinación de rendimientos $$f(2)=-2f(2)-2-2\implies 3f(2)=-4\implies \boxed {f(2)=-\frac 43}$$

Answer 2

$$\begin{aligned} f(2) &= 2f(1)-2 \\ f(1) &= f(-2)-1 \\ f(-2) &= -2f(1)+2\\ \end{aligned}$$ La segunda y la tercera ecuación se pueden resolver simultáneamente para obtener $$f(1)=\frac{1}{3}, f(-2)=\frac{4}{3}.$$ Por lo tanto, $\displaystyle f(2)=-\frac{4}{3}$ .