Solución algebraica para el valor de$x$.

Question

He resuelto este problema, el de hace quince años sin resolver numéricamente las ecuaciones de grado 4, yo estaba feliz en una sustitución que me evite atacar directamente a las ecuaciones de grado 4.

Hoy mi sobrino, que es un entusiasta estudiante de matemáticas, propone mí el mismo problema. Se me ocurre que estoy muy oxidado para sustituciones algebraicas de forma exhaustiva. He intentado durante aproximadamente 3 horas. Lo decepcionado que no quiero que mi sobrino a sus intentos (y no yo) pide ayuda a la ME de la comunidad. Y, por supuesto, voy a dar todos los créditos a MÍ.

Mi intento. Tenga en cuenta que $ \cos \alpha = \frac{1}{x}$, $\cos \alpha = \frac{y}{1}$, $\cos \alpha = \frac{y+1}{x+1}$. Then we have $xy=1$, i.e. $y=\frac{1}{x}$. Por El Teorema De Pitágoras. \begin{align} (y+1)^2+1^2=(x+1)^2 & \Longleftrightarrow y^2+2y+1+1=x^2+2x+1 \\ & \Longleftrightarrow x^2-y^2+2(x-y)-1=0 \\ \end{align} Actualización [ 26 de julio de 2016 ] recuerdo la vez que me ha resuelto esta cuestión, he intentado algo como \begin{align} x^2-y^2+2(x-y)-1=0 & \Longleftrightarrow (x-y)[x+2+y]=1 \\ & \Longleftrightarrow (x-y)[x+2\cdot 1+y]=1 \\ & \Longleftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})[x+2\sqrt{x}\sqrt{y}+y]=1 \\ & \Longleftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})^3=1 \\ & \Longleftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^3=\frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})} \\ & \Longleftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^3=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(x-y)} \\ & \Longleftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=\frac{1}{(x-y)} \\ & \Longleftrightarrow (x+y+2)=\frac{1}{(x-y)} \end{align} Entonces tenemos dos formas de abordar el problema: $$ \left\{\begin{array}{rl}\sqrt{x}\sqrt{y}=&1 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^3=&\frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})} \end{array}\right. \quad\mbox{ o } \quad \left\{\begin{array}{rl}xy=&1 \\ (x+y+2)=&\frac{1}{x-y} \end{array}\right. $$

Answer 1

De $y = 1/x,$ luego multiplicando por $x^2,$ tengo $$ x^4 + 2 x^3 - x^2 - 2 x - 1. $$ Esto se ve mal. Sin embargo, el conjunto de $$ x = t - \frac{1}{2} $$ y usted puede deshacerse de la cúbico plazo, siempre vale la pena intentarlo. Yo estaba encantado de descubrir que el término lineal también desapareció, dando $$ t^4 - \frac{5}{2} t^2 - \frac{7}{16}, $$ y se puede resolver por $t^2$ con la Fórmula Cuadrática. Puedo conseguir $$ t^2 = \frac{5 \pm \sqrt {32}}{4} $$ con dos imaginario puro raíces, un real negativo y un positivo real para $t$ sí. A continuación, $x$ es el que menos 1/2. Llego $1.132241883$ $x.$

Un buen hábito es simplemente dibujar una gráfica de la función. Yo los hago a mano con una calculadora para encontrar los puntos. He anexado un buen gráfico en línea. Observa que la gráfica parece ser simétrico a través de la línea vertical $x = -\frac{1}{2}.$ Nos podría confirmar esto mediante la adopción de $ f(x) = x^4 + 2 x^3 - x^2 - 2 x - 1 $ y, a continuación, comprobar si $f(-1-x) = f(x)??$ a su vez, esta confirmación nos diría que la traducción que he intentado, de hecho, dar una gráfica simétrica entre el eje y, es decir, todos , incluso los exponentes.

Cálculo de ideas que son, al menos, coherente con la noción de simetría incluir $$ f'(x) = 2 (2x+1) \left(x^2 + x -1 \right) $$ y $$ f''(x) = 2 \left(6 x^2 + 6 x - 1 \right), $$ de modo que $x=-1/2$ da un máximo local, mientras que los puntos de inflexión son simétricas alrededor de $x = -1/2$ por la fórmula cuadrática.

Eh. Resulta de los mínimos locales son realmente a lo largo de $y = -2,$ desde $$ f(x) + 2 = \left( x^2 + x - 1 \right)^2. $$ Vaya Usted A Saber.

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parisize = 4000000, primelimit = 500509
? x = -1 - w
%1 = -w - 1
? x^4 + 2 * x^3 - x^2 - 2 * x - 1
%2 = w^4 + 2*w^3 - w^2 - 2*w - 1
? 

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parisize = 4000000, primelimit = 500509
? factor( x^4 + 2 * x^3 - x^2 - 2 * x - 1 )
%1 = 
[x^4 + 2*x^3 - x^2 - 2*x - 1 1]

? x = t - (1/2)
%2 = t - 1/2
? p = x^4 + 2 * x^3 - x^2 - 2 * x - 1
%3 = t^4 - 5/2*t^2 - 7/16
? 

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