Calcular $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int\limits_0^\infty \frac{n^2 \sin(x/n)}{n^3x + x(1 + x^3)} \, d x$

Question

En la preparación de los finales, estoy tratando de calcular $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int\limits_0^\infty \frac{n^2 \sin(x/n)}{n^3x + x(1 + x^3)} \, d x$$ con pruebas.

Este es mi enfoque/lo que he hecho hasta ahora: Si podemos encontrar una función dominante, tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int\limits_0^\infty \frac{n^2 \sin(x/n)}{n^3x + x(1 + x^3)} \, d x = \int\limits_0^\infty \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^2 \sin(x/n)}{n^3x + x(1 + x^3)} \, d x$$ por el Teorema de la Convergencia Dominada. Si dejamos que $f_{n} = \frac{n^2 \sin(x/n)}{n^3x + x(1 + x^3)}$ entonces $f_{n}(x)$ converge a $0$ para todos $x > 0$ lo que implica que el límite es igual a 0 porque el Teorema de Convergencia Dominada sólo requiere convergencia a.e. (por lo que no tiene convergencia en $x = 0$ no es un problema). Suponiendo que la función dominante existe, ¿es esto correcto?

En cuanto a la búsqueda de una función dominante, tenemos $$ |f_{n}| = \left| \frac{n^2 \sin(x/n)}{n^3x + x(1 + x^3)} \right| = \frac{|n^2 \sin(n/x)|}{n^3x + x(1 + x^3)} \leq \frac{n^2}{n^3x + x(1 + x^3)}, $$ que es donde me quedo atascado. Las dos direcciones que parecían más claras desde aquí eran $$ \frac{n^2}{n^3x + x(1 + x^3)} \leq\frac{n^2}{n^3x} = \frac{1}{x} \quad \text{or} \quad \frac{n^2}{n^3x + x(1 + x^3)} \leq \frac{n^2}{x(1 + x^3)}. $$ El primero no es integrable y parece que no puedo lidiar con el $n^2$ en este último y lo ha delimitado suficientemente. Así que mi pregunta principal es cómo puedo acotar $|f_{n}|$ ?

Answer 1

Utilice $|\sin(x/n)|\leq|x/n|=x/n$ para $x>0$ , $\left|\dfrac{n^{2}\sin(x/n)}{n^{3}x+x(1+x^{3})}\right|\leq\dfrac{nx}{n^{3}x+x(1+x^{3})}\stackrel{\sqrt{ab}\leq \frac{1}{2}(a+b)}{\leq}\dfrac{nx}{2(n^{3}x^{2}(1+x^{3}))^{1/2}}=\dfrac{1}{2n^{1/2}(1+x^{3})}\leq\dfrac{1}{2(1+x^{3})}$ .

Answer 2

Sin DCT: En valor absoluto el integrando está acotado arriba por

$$\frac{n^2 (x/n)}{n^3x + x(1+x^3)} = \frac{n}{n^3 + (1+x^3)} \le \frac{n}{n^3 + x^3}.$$

Dejemos que $x = ny$ para ver que

$$\int_0^\infty \frac{n}{n^3 + x^3}\, dx = \frac{1}{n}\int_0^\infty \frac{1}{1 + y^3}\, dy.$$

Dado que la última integral converge, la integral en cuestión está acotada por encima por una constante veces $1/n,$ por lo que converge a $0.$

Answer 3

$$\int\limits_0^\infty \frac{n^2 \sin(x/n)}{n^3x + x(1 + x^3)} \, d x=\int\limits_0^\infty \frac{n^3 \sin(y)}{n^4y + n y(1 +n^3 y^3)} \, d y=\frac{1}{n} \int\limits_0^\infty \frac{\sin(y)}{y + y^3 +y/n^3} \, d y$$ Aquí hacemos el cambio de variables $y=n x$ . La integral $$ \int\limits_0^\infty \frac{\sin(y)}{y + y^4 +y/n^3}$$ es finito. Por lo tanto, el límite en cuestión tiende a cero.