Sé que una superficie reglada es una parametrización de la superficie con $x(u,v)$ = $c(u)$ + $vf(u)$ donde si $I$ $\subset$ $R$ es un intervalo, $c$: $I$ $\mapsto$ $R^3$ y $f$ : $I$ $\mapsto$ $R^3$ son suaves curvas con $f$ $\neq$ $0$ en $I$. La curva de $c$ se llama la directriz y el $f(u)$ son llamados los fallos. Si no me equivoco, es una superficie reglada regular en un punto $p$ = $x(u,v)$ siempre que $f(u)$ $\bigwedge$ $c'(u)$ = $vf(u)$ $\bigwedge$ $f'(u)$ y $x_u$ $\bigwedge$ $x_v$ $\neq$ $0$? En realidad creo que sólo la segunda condición es realmente necesaria, o son ambos necesarios? Son las dos condiciones equivalentes, y no hay ningún otro requisito adicional? Agradecería algo de ayuda en esto, gracias.
Respuesta
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Deje $x(u,v)=c(u)+vf(u)$ donde $u\in I$. Tenga en cuenta que, por definición, $x(u,v)$ es regular de la superficie de la si $x_u\wedge x_v\neq 0$. Simple cálculo da $x_u(u,v)=c'(u)+vf'(u)$ $x_v(u,v)=f(u)$ , lo que implica que $$x_u\wedge x_v=c'(u)\wedge f(u)+vf'(u)\wedge f(u).$$ Por lo tanto, $x(u,v)$ es un habitual de la superficie si y sólo si $c'(u)\wedge f(u)+vf'(u)\wedge f(u)\neq 0$.
