¿Qué propiedades definen abiertos loci en esquemas de excelentes?

Question

Deje $R$ ser una excelente Noetherian anillo. Una propiedad $P$ se dice abierto si el conjunto $\{q \in \operatorname{Spec}(R) \ | \ R_q \ \text{satisfies} \ (P)\}$ es abierto Zariski. Ejemplos de propiedades incluyen:

1) Regular (conocida), completa intersecciones, Gorenstein, Cohen-Macaulay, Serre la condición de $(S_n)$ (Matsumura, el libro). Esto implica la apertura de otras propiedades, por ejemplo la normalidad, lo que significa que $(R_1)$$(S_2)$.

2) Factorial (para $R$ de los característicos $0$, ya que la prueba utiliza la resolución de singularidades). ACTUALIZACIÓN: en un reciente muy interesante preprint, el factorial y $\mathbb Q$-factorial de la propiedad que demuestre estar abierto para las variedades sobre cualquier algebraicamente cerrado de campo.

3) $\mathbb Q$-Gorenstein, es decir, la canónica módulo de torsión en el grupo de clase (no sé una referencia conveniente, por favor si por casualidad usted conoce).

4) Ser racional singularidad.

Mis preguntas son:

Pregunta 1: ¿conoce usted otro interesante clase de abrir propiedades?

Pregunta 2: ¿hay buena heurística razones de por qué una determinada propiedad debe estar abierta? Enunciado de un poco más de ambición, hay técnicas comunes para la comprobación de la apertura para cierta clase de propiedades?

Algunos comentarios: La excelente condición es bastante leve, pero crucial. Pregunta 2 fue motivado por la otra cuestión de la mina.

Answer 1

para dar un descaradamente trivial respuesta a su pregunta 2, yo diría que el punto es que el fracaso de estas propiedades es cerrado, a menudo, "obviamente". También me gustaría añadir uno más de los auxiliares de la propiedad, que actúa como una meta de la propiedad de algunos de estos:

Una coherente gavilla ser localmente libre es un espacio abierto de la propiedad. Esto se desprende de Nakayama del lexema.

Así que, aquí está su lista. Las propiedades de la izquierda fallar a lo largo de los loci en el derecho. [Advertencia: yo no incluir condiciones que a veces son necesarios, pero me di cuenta de que esta es una cuestión filosófica y, entonces, la respuesta no tiene que ser indicado en la forma más precisa.]

regular/suave \begin{align*} a^2+6b^2+2ab\sqrt6&=3c^2+2d^2+2cd\sqrt6\\ 2(ab-cd)\sqrt6=3c^2+2d^2-a^2-6b^2 \end\begin{align*} ab-cd&=0\\ 3c^2+2d^2-a^2-6b^2&=0 \end\begin{align*} ab&=cd\\ 3c^2+2d^2&=a^2+6b^2 \endla puesta a cero de la Jacobiana ideal, también el locus donde $\Omega_X$ no es localmente libre

Cohen-Macaulay, $S_n$ \begin{align*} 3c^2+2x^2b^2&=x^2c^2+6b^2\\ x^2(2b^2-c^2)&=3(2b^2-c^2)\\ (x^2-3)(2b^2-c^2)&=0 \end el apoyo de las poleas Ext

Gorenstein ------------------ {no se CM} $\bigcup$ {CM, pero $\omega_X$ no es una línea de paquete}

$\mathbb Q$-Gorenstein --------------- $\bigcap_m$ {$\omega_X^{[m]}$ no es una línea de paquete}

racional de la singularidad --------- (en char $0$) $\bigcup_{i=1}^{\dim X}{\rm supp\,}R^i\phi_*\mathcal O_{\widetilde X}$ donde $\phi:\widetilde X\to X$ es una resolución.

klt singularidad ---------------- la puesta a cero del multiplicador ideal.

Du Bois de la singularidad --------- $\bigcup_{i\neq 0} {\rm supp\,} h^i(\underline\Omega_X^0)\bigcup \,{\rm supp\,}{\rm coker\,}[\mathcal O_X\to h^0(\underline\Omega_X^0)]$

(semi-)normalidad ------------ ${\rm supp\,}{\rm coker\,}[\mathcal O_X\to \pi_*\mathcal O_{Y}]$, donde $\pi:Y\to X$ el (semi-)normalización.

etcétera...

Answer 2

De largo,

Para el $\mathbb{Q}$-Gorenstein pregunta, no sé de una referencia, pero debe ser fácil, si $\omega_R^{(n)}$ es localmente libre en un punto, entonces es localmente libre en un barrio de ese momento (por supuesto, probablemente estoy suponiendo normal o G1 + S2 para hacer sentido de $\omega_R^{(n)}$).

Un par de otros que saltan a la mente son las siguientes.

I. Seminormality / débil normalidad.

II. Ser $F$-split en el carácter $p$ (al menos en el $F$-en el caso finito, $F$-finito es otro decente uno por su cuenta). Por supuesto, todos los signos de la MMP (canónica, terminal, lc, klt, slc, racional, Du Bois, etc.) La mayoría de las singularidades de cierre estricto de la teoría (fuerte F-regularidad, F-pureza, F-inyectividad, F-racionalidad, algunos de estos que requieren de nuevo el $F$-caso finito).

Con reguards a su segunda pregunta: El general de la cosa común que casi todos los singulraity clases mencionadas anteriormente poseen, que se abre es la siguiente:

Casi todas estas singularidades se comprueban mostrando que un módulo en particular de $M$ es isomorfo a $R$ o $\omega_R$. Alternativamente, que un determinado módulo es cero. Por ejemplo, klt y de registro canónica de las singularidades de las dos puede ser comprobado por este (es el multiplicador ideal / no-lc ideal igual a $R$). Esto también se cumple en la característica $p$ mundo, a pesar de que no es el habitual de las cosas tal como están formuladas.

Por ejemplo, $F$- regularidad se puede comprobar mirando el ideal $$ J = \sum_{e \geq 0} \sum_{\phi} \phi(F^e_* cR) $$ donde $\phi$ ejecuta a través de todos los elementos de a $Hom_R(F^e_* R, R)$ $c$ elegido es tal que $R_c$ es regular. Si este ideal es igual a $R$, $R$ está fuertemente $F$-regular.