La rotación en las Dimensiones Superiores

Question

En un mundo de tres dimensiones espaciales más el tiempo, cada átomo que gira alrededor de una recta, el eje de rotación.

En un mundo de $N$ dimensiones espaciales donde $N$ es mayor que 3, deben cada átomo de girar, y si así lo hace girar en torno a una línea, un plano, o un subespacio de menor número de dimensiones?

Answer 1

Uno puede mostrar que un general de la rotación $R\in SO(N)$ $N\geq 2$ dimensiones espaciales pueden ser compuestos
$$R ~=~ R_1\circ \ldots\circ R_{k}$$ de en la mayoría de las $k=[\frac{N}{2}]$ pares de desplazamientos de rotaciones $$R_1,\ldots, R_{k}~\in~ SO(N)$$ que cada una de las hojas de un co-dimensión-2 subespacio invariante (aunque no necesariamente el mismo subespacio).

La rotación $R$ sí es sólo garantiza que dejan invariante una dimensión-1 subespacio (=una línea que pasa por el origen) si la dimensión espacio - $N$ es impar.

Answer 2

En 2d, una matriz de rotación que tiene la forma de $$r(\theta)=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right):= \left(\begin{array}{cc} c(\theta)&-s(\theta)\\ s(\theta)&c(\theta)\end{array}\right)$$ y gira el vector en un plano.

En 3d de una matriz de rotación se puede escribir como un producto $$r_{12}(\psi)r_{13}(\theta)r_{12}(\varphi)$$ donde $$\begin{align} r_{12}(\psi)&=\left(\begin{array}{ccc} c(\psi)&-s(\psi)&0\\ s(\psi)&c(\psi)&0\\ 0&0&1 \end{array}\right)\\ r_{13}(\theta)&=\left(\begin{array}{ccc} c(\psi)&0&-s(\psi)\\ 0&1&0\\ s(\psi)&0&c(\psi) \end{array}\right) \end{align}$$ dejando a un eje invariante. Este eje puede ser identificado por la fila o columna que contiene a $0$s en todas partes excepto por una entrada.

En(4), se puede escribir una matriz de rotación como una secuencia o $r_{ij}$ matrices. $r_{12}$ tendría el formulario $$r_{12}(\psi)=\left(\begin{array}{cccc} c(\psi)&-s(\psi)&0&0\\ s(\psi)&c(\psi)&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)$$ y así deja un 2-dimensional subespacio invariante. Un SO(4) de la matriz se puede escribir en la forma factorizada $$r_{34}(\beta_1)r_{23}(\beta_2)r_{12}(\beta_3) r_{34}(\beta_4)r_{23}(\beta_5)r_{34}(\beta_6)$$ por la restricción a los valores reales de las entradas de la $SU(4)$ matriz factorizada como como se hace aquí. Este no es el único posible de factorización.

Obviamente, ENTONCES, (5) la rotación puede ser escrita en términos de las matrices de salir de las 3 dimensiones subespacio invariante etc.