Integral simple generalizada

Question

La integral a calcular es $\displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{3+x^2} \, \mathrm dx$ .

Se como calcular la integral indefinida de esta función su me da

$$\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right).$$

Cuando calculo la integral definida ahora me da :

$$\frac{\sqrt{3}}{3} \left(\lim\limits_{x \to \infty }\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)-\arctan(0)\right).$$

Entonces no entiendo por qué mi profesor escribe que arctan(0)=0 porque también puede ser igual a , y más extraño se encontró no sé cómo que $\lim\limits_{x \to \infty }\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)=\pi/2$ . Gracias por su ayuda.

EDIT : Ahora sólo necesito cómo calcular el límite.

Answer 1

En realidad, no hace falta tener $\arctan(0)=0$ puede tener $\arctan(0)=\pi$ pero tu función arctan debería ser continua. Por lo tanto, si usted decide hacer su rango de arctan tal que $\arctan(0)=\pi$ deberías tener eso $\lim_{x\rightarrow \infty}\arctan(x)=\frac{3\pi}{2}$ que dará la misma respuesta que la de tu profesor.

Answer 2

La forma en que yo enfocaría este problema es . $$ \int_0^\infty \frac{1}{3+x^2}dx $$

Dividiría el $$ x^2+3 $$ por 3 para factorizar las constantes.

$$ \int_0^\infty \frac{1}{3(\frac{x^2}{3})+1}dx $$

entonces podemos sustituir nuestra función por

$ u^2=\frac{x^2}{3}$

$u= \frac{x}{\sqrt{3}} $

La integral de

$$ \int_0^\infty \frac{1}{3(\frac{x^2}{3})+1}dx $$

$du= \frac{1}{\sqrt{3}}dx$

Al sustituir obtenemos

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}\int_0^\infty \frac{1}{{u^2}+1}dx $$

la integral daría como resultado

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}\int_0^\infty \frac{1}{{u^2}+1}dx =\frac{1}{\sqrt{3}}arctan(u)|_0^\infty $$

Entonces volvemos a sustituir $u= \frac{x}{\sqrt{3}} $

Esto nos daría el paso previo a la respuesta final.

$$\frac{1}{\sqrt{3}}arctan(\frac{x}{\sqrt{3}})|_0^\infty $$

entonces podemos evaluar el valor y el límite

$$\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\lim\limits_{a \to \infty }\arctan\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)-\arctan(0)\right)= (\frac{pi}{2\sqrt{3}}) $$

porque cuando "a" se acerca al infinito arctan(a/cuadrado(3)) = Pi/2 y arctan(0/cuadrado(3)) = 0

$$ \frac{1}{\sqrt{3}}( \frac{pi}{2} - 0 ) = (\frac{pi}{2\sqrt{3}}) $$

Esa es la respuesta correcta y la evaluación final.