Estoy interesado en saber cuáles son algunos de los 'atractivo' axiomas que son incompatibles con ZFC, además de algunos grandes cardenal axioma. Vi la pregunta Sobre la naturaleza contradictoria de los grandes cardenales y elección-como axiomas, lo que despertó mi curiosidad. Una de las razones es que en la mayoría de los matemáticos de la práctica de todos los elementos de un poder establecido que construimos son, de hecho, en la de Gödel $L$, donde GCH sostiene. Por lo tanto podría decirse que lo que la comprensión intuitiva del conjunto teórico universo $V$ que uno puede tener en realidad es más como una comprensión de $L$, simplemente porque en realidad no podemos concebir un sinnúmero de cosas, salvo a través de proxy, es decir, la descripción del fenómeno de la no contables. GCH ($κ \le λ \le 2^κ \rightarrow κ = λ \lor λ = 2^κ$ para cualquier infinita cardenales $κ,λ$) es incompatible con ZFC+PFA, y por lo tanto se sugiere que hay otros 'atractivo' axioma de pares, además de (PFA,GCH) y (medibles, $V=L$) que son mutuamente inconsistentes más de ZFC.
Muchas personas han mencionado que parece raro que hay un lineal de pedidos entre el gran cardenal axiomas hasta ahora considerada, pero ya que en algún momento están en contradicción con las extensiones naturales de CA, soy curioso en cuanto a si esto lineal de pedido es tal vez debido al hecho de que estos axiomas son todos aproximadamente la misma especie. Yo también había visto este post en situaciones en las que la "elección" de los principios de fallar, y me dijeron que todavía no se sabe si Berkeley cardenales son consistentes con ZF (sin CA). Si son coherentes, a continuación, habría al menos dos incompatible tipo de 'atractivo' conjunto de la teoría de los universos, uno con el fuerte de la "elección" principios y a tener "todo tipo" de interior modelos.
Pero no hay duda de que debería ser mucho más rica lógico paisaje? Hay infinitamente muchos incomparable teorías, por lo que si es una mera consistencia ($Π_1$ aritméticos oraciones) estamos hablando entonces debe haber un número infinito de pares incomparable extensiones incompatibles o de ZFC, al igual que para los PRA, donde PA (además de los nombres de todos los p.r. funciones) y PRA+TI($ε_0$) son mutuamente incomparable extensiones, pero que tienen consecuencias significativas (inducción para todas las fórmulas, Con(PA), respectivamente). También, dos de ellos son a su vez interpretable en Z$_2$. En este caso las dos teorías no son incompatibles simplemente porque ya teníamos el modelo estándar de la $\mathbb{N}$ en mente cuando se construyó tanto de ellos. Sin embargo, en la teoría de conjuntos a mí me parece que no existe un modelo estándar se puede describir, incluso en el lenguaje natural, así que no veo ningún obstáculo para tener una amplia variedad de extensiones incompatibles de ZFC que son intuitivamente atractivo.
Entonces, ¿qué otras parejas se conocen? No conozco la literatura le agradecería referencias también. Gracias!
