Así, en el diagrama de bifurcación de la logística mapa, no hay duplicación del periodo de alrededor de r=3 r=3.54409. Hay dos fluctuación entre los puntos r=3 y r=$1+\sqrt{6}$. Mi pregunta es, ¿cómo se podía obtener el valor de r de $1+\sqrt{6}$?
Respuesta
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Amzoti
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La Logística Mapa está dada por:
$$f(x) = r~ x~ (1-x),~~ x \in [0,1]~,~ r > 0$$
Tomando el 2-ciclo, se resuelve:
$$f^2(x) = x$$
Una parcela de $f^2(x)$ y la línea de $x$ es:
Esto nos da las cuatro raíces:
$$x = 0, 1 - \dfrac{1}{r}, \dfrac{r+1 ~\pm ~ \sqrt{(r-3)(r+1)}}{2r}$$
Los dos primeros son repeler puntos y el segundo dos son periódicas puntos.
Ahora queremos encontrar el rango de estabilidad para los dos puntos. Para la estabilidad:
$$(f^2)'(x_0) = f'(x_1)f'(x_0)$$
donde $x_1 = f(x_0)$.
Al $x_0 = \dfrac{r+1 ~\pm ~ \sqrt{(r-3)(r+1)}}{2r} \implies (f^2)(x_0) = 4 + 2 r - r^2$.
Por lo tanto, el 2-ciclo de la atracción cuando:
$$ |4 + 2 r - r^2| \lt 1$$
- Para el positivo valor absoluto tenemos $(4 + 2 r - r^2) \lt 1 \implies r \gt 3$
- Negativa para el valor absoluto tenemos $-(4 + 2 r - r^2) \lt 1 \implies r \lt 1 + \sqrt{6}$
Esto le da estabilidad cuando:
$$ 3 \lt r \lt 1 + \sqrt{6}$$
Si dibujamos una serie de tiempo de $x_n$ frente al $n$, para un valor de $r = 3.4$, podemos ver este 2-ciclo:
Sin embargo, si hacemos la misma parcela para $r = 3.5$, ahora vemos un 4-ciclo:
Si graficamos la telaraña de cada uno, podemos ver el establo 2-ciclo, en comparación con el 4-ciclo:
También podemos trazar el diagrama de bifurcación de la logística mapa como:
