Comprobar si un funcional tiene un extremo o NO

Question

Hallar el extremo de la función $$J(y)=\int_a^b F(x,y,y')\,dx$$ donde , $F(x,y,y')=y'+y$ para funciones admisibles $y$ .

A partir de la ecuación de Euler-Lagrange , $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)-\frac{\partial F}{\partial y}=0$ obtenemos , $-1=0$ ( absurdo ). Por lo tanto, podemos concluir que el funcional tiene NO extramuros .

De nuevo sabemos cuándo $x$ está ausente en $F$ entonces la ecuación de Euler-Lagrange se transforma en $\displaystyle F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}=\text{ constant }$ . Dado que en este problema $x$ está ausente en $F$ así que podemos usarlo y usando obtenemos , $y=\text{constant }$ que es el extremo requerido.

¿Por qué estos dos procesos dan resultados diferentes? ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué? Por favor, explíquelo correctamente.

Answer 1

Si " $x$ está ausente en $F$ " como usted dice, sólo se puede concluir que tiene un ley de conservación . Por lo general pas suficiente para resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son de segundo orden en $x$ . La ley de conservación actúa como una restricción que puede ayudarte a descartar soluciones absurdas, pero no todas las funciones que satisfacen la ley de conservación tienen por qué ser soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Esto es exactamente lo que ocurre en su problema.

Podría ser esclarecedor examinar otro sistema lagrangiano con una interpretación mecánica simple. Consideremos una piedra que cae libremente bajo la acción de la fuerza gravitatoria: $$ \frac{d^2 y}{dt^2}=-g,$$ Aquí $y$ es la posición vertical y $t$ es el tiempo. Este sistema tiene un Lagrangiano: $$ F(y, y')=\frac{(y')^2}2 -gy.$$ Como bien observa, el hecho de que $F$ no depende explícitamente de $t$ da la siguiente ley de conservación: $$ F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}=-\left(\frac{(y')^2}{2} + gy\right) = \text{constant in time}.$$ Esto corresponde a la conservación de la energía en un sistema mecánico conservativo. Esta ley de conservación excluye que una función como $$ y(t)=\sin(t) $$ puede resolver el sistema original. En efecto, nunca se ha observado una piedra en caída libre que oscile espontáneamente hacia arriba y hacia abajo. Sin embargo, esta ley de conservación no excluye una función como $$ y(t)=y_0>0 $$ correspondiente a una piedra parada para siempre en el aire, ¡que tampoco se ha observado nunca!

La conclusión es que una única ley de conservación es pas suficiente para resolver un sistema lagrangiano.

Answer 2

La ecuación de Euler-Lagrange es sólo una condición necesaria para que el funcional tenga un extremo. Esto se debe a que la ecuación de Euler-Lagrange se deriva de lo siguiente:

Supongamos que $y(x)$ minimiza (maximiza) el funcional. Entonces se tiene $J(y+\lambda v)\ge J(y)$ para cada $\lambda >0$ . Ahora dividiendo por $\lambda>0$ y dejando $\lambda\to 0$ se obtiene la ecuación de Euler-Lagrange. Así que la ecuación dice que si $y$ minimiza (maximiza) la función $\Rightarrow$ se cumple la ecuación. Pero si la ecuación se cumple para algún $y(x)$ no significa que sea efectivamente un minimizador (maximizador). Es lo mismo que para las funciones en una variable: si la derivada en algún punto $x=a$ es $0$ entonces este punto $x=a$ es un posible punto extremo (pero podría ser sólo un punto inflexible, como $x=0$ en $f(x)=x^3$ ).

Para tu problema, $J(y)=\int\limits_{a}^{b}{(y'+y )dx}=y(b)-y(a)+\int\limits_{a}^{b}{y dx}$ .

Ahora bien, no importa si el conjunto sobre el que se busca minimizador/ maximizador es de funciones con valores fijos en $x=a$ y $x=b$ la expresión $J(y)=y(b)-y(a)+\int\limits_{a}^{b}{y dx}$ es ilimitada por arriba y por abajo. Por lo tanto no puede tener ni mínimo ni máximo sobre $C^1[a,b]$ o simplemente sobre el conjunto de funciones diferenciables en $[a,b]$ :

1)Si el conjunto está formado por funciones diferenciables con valores no fijos en $x=a$ o $x=b$ tomando las funciones $y_n(x)=n=const$ entonces $J(y_n)\to\infty$ . Tomando $y_n=-n\Rightarrow J(y_n)\to -\infty$ .

2) Si $y(a)$ y $y(b)$ son fijas, entonces de nuevo se pueden encontrar secuencias $y_n$ para lo cual $J(y_n)\to\pm\infty$