Unicidad de los objetos exponenciales hasta el isomorfismo en cualquier categoría

Question

Quiero demostrar que para cualquier par de objetos $a,b$ en una categoría $\mathcal{C}$ el objeto exponencial $a^b$ de $a$ y $b$ si existe, es única hasta el isomorfismo. Parece que es muy sencillo, pero no consigo demostrarlo. (Necesito una prueba que no mencione los adjuntos o el lema de Yoneda, ya que estoy trabajando con un libro de texto de teoría de categorías que aún no ha definido estos conceptos)

Answer 1

La respuesta más corta. Los adjuntos de la derecha son únicos hasta el isomorfismo único.

Respuesta corta. La definición del objeto exponencial $b^a$ implica que existe una biyección natural entre las flechas $c \to b^a$ y flechas $c \times a \to b$ ; esta última no depende de $b^a$ , si $d$ también tiene la propiedad universal de $b^a$ entonces existe una biyección natural entre las flechas $c \to b^a$ y flechas $c \to d$ Por lo tanto, $b^a$ debe ser isomorfo a $d$ por el lema de Yoneda.

Respuesta larga. Expliquemos exactamente de dónde viene el isomorfismo. Supongamos que $d$ tiene la propiedad universal de $b^a$ por lo que existe un morfismo universal $e : d \times a \to b$ tal que para cualquier $g : c \times a \to b$ hay un único $g' : c \to d$ tal que $e \circ (g' \times \textrm{id}_a) = g$ . Pero en particular podemos tomar $c = b^a$ y $g = \textrm{eval}$ y esto nos da $g' : b^a \to d$ tal que $e \circ (g' \times \textrm{id}_a) = \textrm{eval}$ . Pero por la propiedad universal de $b^a$ hay un único $\lambda e : d \to b^a$ tal que $\textrm{eval} \circ (\lambda e \times \textrm{id}_a) = e$ , por lo que obtenemos $$\textrm{eval} \circ (\lambda e \times \textrm{id}_a) \circ (g' \times \textrm{id}_a) = \textrm{eval}$$ pero $(\lambda e \times \textrm{id}_a) \circ (g' \times \textrm{id}_a) = (\lambda e \circ g') \times \textrm{id}_a$ Por lo tanto $\lambda e \circ g' = \textrm{id}_{b^a}$ por la singularidad. A la inversa, tenemos $$e \circ (g' \times \textrm{id}_a) \circ (\lambda e \times \textrm{id}_a) = e$$ por lo que por singularidad de nuevo concluimos $g' \circ \lambda e = \textrm{id}_d$ . Así, $d \cong b^a$ .

Observación. Todas estas respuestas son, en realidad, las mismas, sólo que expresadas de forma diferente. Como han dicho otros: aprende el lema de Yoneda y los funtores representables.

Answer 2

El gran libro de Awodey (2ª ed), capítulo 6, tiene una buena introducción a los exponenciales, sin Yoneda, ect.

La prueba funciona de la misma manera que se utiliza para los productos (por ejemplo) o cualquier otra construcción universal.

Recuerda: en la definición de una exponencial E1 hay una flecha única, así que si supones que hay otra exponencial E2......al final debe haber una flecha única de E1 a E2 y una flecha única de E2 a E1, por lo que E1 y E2 deben ser isomorfas.

Estudiar la técnica utilizada para los productos, ecualizadores o pullbacks para inspirarse (siempre en el libro de Awodey)

Answer 3

$b^a$ es por definición una representación (o simplemente el objeto representante) del functor $c \mapsto \hom(c \times a , b)$ es decir, tenemos una biyección natural $\hom(c,b^a) \cong \hom(c \times a,b)$ . El lema de Yoneda nos dice que las representaciones son únicas hasta el isomorfismo único.

PD: Primero aprende el Lemma de Yoneda, luego el resto...