Tratando de derivar una función trigonométrica inversa

Question

Me gustaría saber cómo derivar estas funciones (que yo sepa las respuestas, quiero saber cómo llegar) \begin{align*} f(x) &= \arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\\ f(x) &= \arccos(2x+1)\\ f(x) &= \arctan(x^2)\\ f(x) &= \mathrm{arcsec}(x^7)\\ \end{align*} etc.

Answer 1

Me voy a caminar a través de una derivación (cómo llegar) de la derivada de la función arcoseno. La misma idea se puede aplicar a las otras funciones trigonométricas inversas. Si $y=\arcsin x$, luego $\sin y=\sin(\arcsin x)=x$. $$\sin y=x$$ Take the derivative of both sides with respect to $x$ (remember the chain rule!). $$\cos y\cdot\frac{dy}{dx}=1$$ Isolate $\frac{dy}{dx}$, which is what we're trying to find. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$$ Since we want $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$, substitute for $y$. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}$$ $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ (see this answer of mine for a technique for simplifying a trig function of an inverse trig function), so $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Answer 2

Las fórmulas que se necesitan son los derivados de la $\arcsin(u)$, $\arccos(u)$, $\arctan(u)$, $\mathrm{arcsec}(u)$, y, presumiblemente,$\mathrm{arccot}(u)$$\mathrm{arccsc}(u)$. Una vez que usted lo sabe, usted puede aplicar la Regla de la Cadena.

Y, ¿cómo encontrar estos derivados? Así, el Teorema de la Función Inversa es su primer amigo. Si $y = g(x)$ tiene una inversa, es diferenciable en $x=a$, $g(a)=b$, y $g'(a)\neq 0$,$(g^{-1})'(b) = \frac{1}{g'(a)}$.

Así, considere la posibilidad de $y=\sin(\theta)$. Puesto que la derivada de $\sin(\theta)$$\cos(\theta)$, usted tiene que $$\frac{d}{du}\arcsin(u) = \frac{1}{\cos(\arcsin(u))}.$$ Pero... ¿qué es $\cos(\arcsin(u))$? Supongamos $\arcsin(u)=\theta$. Eso significa que $\sin(\theta) = u$, y desde $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$,$\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) = 1-u^2$. Por lo tanto, $|\cos(\theta)|=\sqrt{\cos^2\theta} = \sqrt{1-u^2}$; y porque el fin de hablar acerca de la inversa de $\sin \theta$ debemos tener $-\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}$,$\cos\theta\geq 0$, lo $|\cos\theta|=\cos\theta$. Es decir, $\cos\theta = \sqrt{1-u^2}$. Así que, insertándose en la fórmula para la derivada de $\arcsin(u)$, tenemos: $$\frac{d}{du}\arcsin(u) = \frac{1}{\cos(\arcsin u)} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.$$

Realizar el mismo tipo de análisis para $\arccos(u)$, obtenemos $$\frac{d}{du}\arccos(u) = \frac{1}{-\sin(\arccos u)} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.$$

Para $\arctan u$, utilizando el hecho de que $(\tan\theta)' = \sec^2\theta$, tenemos $$\frac{d}{du}\arctan u = \frac{1}{\sec^2(\arctan u)}.$$ Ahora, si $\arctan u = \theta$,$\tan(\theta) = u$. Utilizando el hecho de que $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$, obtenemos que $sec^2(\arctan u) = \sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) = 1+u^2$, por lo que $$\frac{d}{du}\arctan u = \frac{1}{\sec^2(\arctan u)} = \frac{1}{1+u^2}.$$

Para $\mathrm{arccot u}$, el mismo análisis de obras, siempre que se recuerde que $(\cot\theta)' = -\csc^2\theta$ y $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$, por lo que $$\frac{d}{du}\mathrm{arccot}(u) = \frac{1}{-\csc^2(\mathrm{arccot}(u))} = -\frac{1}{1+u^2}.$$

Con $\mathrm{arcsec}u$,$(sec\theta)' = sec\theta\tan\theta$, por lo que $$\frac{d}{du}\mathrm{arcsec}(u) = \frac{1}{\sec(\mathrm{arcsec} (u))\tan(\mathrm{arcsec} u)}.$$ Aquí, $\sec(\mathrm{arcsec} (u)) = u$; si $\mathrm{arcsec}(u)=\theta$,$\sec\theta = u$, y de $\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$, obtenemos $|\tan\theta| = \sqrt{u^2 - 1}$. Usted obtener: $$\frac{d}{du}\mathrm{arcsec}(u) = \frac{1}{\sec(\mathrm{arcsec}(u))\tan(\mathrm{arcsec}(u))} = \frac{1}{u\sqrt{u^2-1}}.$$

Y finalmente, con el hecho de que $(\csc\theta)' = -\csc\theta\cot\theta$, se obtiene $$\frac{d}{du}\mathrm{arccsc}(u) = \frac{1}{-\csc(\mathrm{arccsc}(u))\cot(\mathrm{arccsc}(u))} = -\frac{1}{u\sqrt{u^2-1}}.$$

Una vez que usted tiene estas fórmulas, la Regla de la Cadena se encarga del resto.

Así que usted tiene: \begin{align*} \frac{d}{du}\arcsin(u) &= \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}, &\qquad \frac{d}{du}\arccos u &= -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}},\\ \frac{d}{du}\arctan(u) &=\frac{1}{1+u^2}, &\frac{d}{du}\mathrm{arccot}(u) &= -\frac{1}{1+u^2},\\ \frac{d}{du}\mathrm{arcsec}(u) &=\frac{1}{u\sqrt{u^2-1}}, &\frac{d}{du}\mathrm{arccsc}(u) &= - \frac{1}{u\sqrt{u^2-1}}. \end{align*}

Answer 3

Cuando dices "se derivan de estas funciones", se refiere a "tomar la derivada de estas funciones?" Si es así, la regla de la cadena es su amigo. Así que para $f(x)=\arctan(x^2)$, $f'(x)=\frac{1}{1+(x^2)^2}2x$

Answer 4

si $y=\arcsin(x)$ $\sin(y)=x$ y diferenciar wrt $x$ obtenemos $cos(y)y'=1$. Por eso, $y'=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}$. dibujar un triángulo con lados 1, $x$, $\sqrt{1-x^2}$) a ver que $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$. Por lo tanto $\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Este tipo de razonamiento obras para diversas función inversa (el uso implícito de la diferenciación). ver cualquier calc libro de texto bajo implícita diferenciación.