Al final de la página 4 de este documento, se ha demostrado a partir de la tabla de multiplicación que $a^{-1}(ab)=b$. El punto es demostrar la asociatividad, así que no veo cómo la conclusión de que $a^{-1}(ab)=b$ sigue. Puede alguien explicar lo que el autor está señalando?
Respuestas
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Lorin Hochstein
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El problema pide probar que un conjunto con una operación binaria y una identidad en la que las dos condiciones siguientes es en realidad un grupo:
(i) cada fila y cada columna de la tabla de multiplicación contiene todos los elementos del conjunto; y
(ii) para cada par de elementos de a $x\neq 1$ $y\neq 1$ si $R$ es un rectángulo en el cuerpo de la tabla de multiplicación que ha $1$ en un vértice, $x$ en la esquina en la misma fila $1$, e $y$ en la esquina en la misma columna como $1$, luego de la cuarta esquina del rectángulo sólo depende de los par $(x,y)$ y no en la posición de $1$.
En el diagrama en la parte inferior de la página 4, se obtiene que si usted tiene las esquinas $$\begin{array}{cc} 1 & c\\ ab& \Box \end{array}$$ a continuación, $\Box$ debe $a(bc)$.
Pero usted consigue la misma tres esquinas, si en lugar de tener $$\begin{array}{c|cc} &b&bc\\ \hline b^{-1}&1 & c\\ a&ab & a(bc) \end{array}$$ tomar $$\begin{array}{c|cc} &1 & c\\ \hline 1&1 & c\\ ab& ab& \Box \end{array}$$ pero aquí la $\Box$ debe $(ab)c$. El supuesto (ii) el problema es que la esquina inferior derecha sólo depende de la parte superior derecha e inferior izquierda en las esquinas, no en las filas y columnas, por lo que llegamos a la conclusión de que $(ab)c=a(bc)$.
Se utiliza el hecho de que $x^{-1}(xy) = y$ a la construcción de la primera de estas dos tablas, para obtener el $c$ en la esquina superior derecha.
Añadido. Supuse que, de la forma en que su enunciado de su pregunta, de la que ya tenía, y convino en que $x^{-1}(xy) = y$ todos los $x,y\in G$. Esto se insinúa con el primer diagrama en la parte inferior de la página 4: $$\begin{array}{c|cc} &1&ab\\ \hline 1&1 & ab\\ a^{-1}&a^{-1}& a^{-1}(ab) \end{array}$$ lo que usted debe comparar con $$\begin{array}{c|cc} & a^{-1} & b\\ \hline a & 1 & ab\\ 1 & a^{-1} & b \end{array}$$ es decir, el mismo argumento utilizado para probar la asociatividad.
De hecho, hay una brecha en la primera prueba. En primer lugar, él no se molestó en probar el Paso 3. Para que él debería ser la comparación de las tablas
$$\begin{array}{c|cc} &1&ab\\ \hline 1&1&ab\\ a^{-1}&a^{-1}&a^{-1}(ab) \end{array}$$
y
$$\begin{array}{c|cc} &a^{-1}&b\\ \hline a&1&ab\\ 1&a^{-1}&b \end{array}$$
en orden a la conclusión de que la $a^{-1}(ab)=b$.
A continuación, con el fin de demostrar que el $(ab)c=a(bc)$, se necesita no sólo la tabla
$$\begin{array}{c|cc} &b&bc\\ \hline b^{-1}&1&c\\ a&ab&a(bc) \end{array}\etiqueta{1}$$
pero también la tabla
$$\begin{array}{c|cc} &1&c\\ \hline 1&1&c\\ ab&ab&(ab)c \end{array}\etiqueta{2}$$
La corrección de $(1)$ sigue desde el Paso 3, y la corrección de $(2)$ es obvia. Esto llena los vacíos en su primera prueba de la asociatividad.
