Ryan ya dio una muy buena respuesta. Sólo quiero dar un par de aclaraciones sobre cómo uno debe pensar de ecuaciones en derivadas parciales en general. Lo que es más importante: usted debe no creo que un operador diferencial como se define por "una fórmula". ¿A qué me refiero con eso? En su pregunta, usted escribió que el Laplaciano en coordenadas Euclidianas es $\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$, pero en coordenadas Esféricas es no $\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$. Pero, ¿por qué debe uno haber pensado que las dos expresiones son iguales?
Para ilustrar, creo que de la función en el avión $f(x,y) = x^2 + y^2$. Esto representa el cuadrado de la distancia de un punto desde el origen. En coordenadas radiales, la misma función se escribe como $f(r,\theta) = r^2$. No $r^2 + \theta^2$, lo cual es una bestia diferente. Justo como el reemplazo directo $x \to r$ $y\to \theta$ cambios de la función que usted está considerando, que los reemplazos $\frac{\partial}{\partial x} \to \frac{\partial}{\partial r}$ etc cambia el operador que usted está considerando.
Ahora: pensar geométricamente (colectores), una (real valorados) la función es una asignación de un número a cada punto en el colector. A continuación, en cualquier sistema de coordenadas no es una representación de la función de una fórmula. Ya que nos gusta trabajar con fórmulas, podemos interpretar la noción de una función como un "mapa". Este mapa toma como entrada un sistema de coordenadas, y las salidas de una fórmula que representa su función en ese sistema de coordenadas. (Si usted está familiarizado con la categoría de la teoría, esto es similar a cómo uno puede pensar en términos de flechas en lugar de puntos.)
Del mismo modo, un operador diferencial parcial puede ser pensado como un objeto en sí mismo. Nuestra forma habitual de escribir como derivadas parciales en algún sistema de coordenadas con coeficientes es sólo una representación conveniente de que el objeto real en el piso de arriba. Por lo tanto, de forma análoga a cómo una función es meramente un "mapa" de sistema de coordenadas a la fórmula de representación, se puede pensar en un diferencial parcial operador también como un "mapa" que toma como entrada un sistema de coordenadas y salidas de una expresión que es una suma de las derivadas parciales con algunos de los coeficientes.
El jet paquete de formulación es sólo un sofisticado y riguroso manera de formular esta idea. La dificultad principal es asegurarse de que la intuición anterior es compatible con el cambio de las variables de las fórmulas. Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas $A$, y una expresión en términos de las derivadas parciales que vamos a llamar a $L_A$. La pregunta es: ¿existe algún resumen diferenciales parciales operador $L$ de tal forma que su representación en el sistema de coordenadas $A$ es, precisamente,$L_A$? Y si hay un operador, es el hecho de que, para algunos la función $f$ (escrito en el sistema de coordenadas $A$ $f_A$), $L_A f_A = 0$ invariantes bajo el cambio de sistema de coordenadas? (Que, dado cualquier otro sistema de coordenadas $B$, $L_Bf_B = 0$ también.) Las herramientas de chorro de paquetes le permite hacer una definición consistente en la descripción de las ecuaciones diferenciales parciales.
