Inyecciones con juegos de potencia

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos conjuntos no vacíos y $f: X \to Y$ es una función, entonces podemos definir $f^{\rightarrow}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ y $f^{\leftarrow}: \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$ donde $\mathcal P$ es la notación para los superconjuntos:

$\begin{align*} f^{\rightarrow}(A) & = \{ f(x) \in Y : x \in A\} & A\in \mathcal P(X) \\[1ex] f^{\leftarrow}(B) & = \{ x \in X : f(x) \in B\} & B\in \mathcal P(Y) \end{align*}$

Demuestre que si $f$ es una inyección $f^{\leftarrow}(f^{\rightarrow}(A)) =A\;\;\forall A \subset X$ y que si $f$ no es una inyección existe un conjunto $A \subset X$ para que $f^{\leftarrow}(f^{\rightarrow}(A)) \neq A$ .

Así que para la primera tenemos que demostrar que $A \subset f^{\leftarrow}(f^{\rightarrow}(A))$ y $f^{\leftarrow}(f^{\rightarrow}(A))\subset A$ .

$$A \subset f^{\leftarrow}(\{ f(x) \in Y : x \in A\})$$

$A$ está en el superconjunto de $X$ y como la función es inyectiva los elementos del dominio son mapeados a lo sumo a un elemento del co-dominio.

$$A \subset \{ x \in X : f(x) \in A\}$$

Y ahora volvemos a asignar el rango a un conjunto de elementos que es un subconjunto de $A$ . ¿Entonces el siguiente caso debe hacerse con la misma lógica? No entiendo muy bien cómo debe hacerse la prueba para el caso no inyectivo. Cualquier ayuda o sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Supongamos que $f$ no es inyectiva. Sea $x \neq y$ sean elementos de $X$ con $f(x) = f(y)$ .

Toma $A = \{x\}$ .

Entonces $f^{\rightarrow}(A) = \{f(x)\}$

Y $f^{\leftarrow}(f^{\rightarrow}(A)) \supset \{x,y\} \supsetneq A$

Así que $f^{\leftarrow}(f^{\rightarrow}(A)) \neq A$

Answer 2

Una función es inyectiva (es decir, unívoca) si preserva la distinción. Nunca asigna elementos distintos en el dominio al mismo elemento en el codominio.

Entonces $f^\leftarrow\circ f^\to$ mapea A uno a uno a una imagen en Y y luego mapea esa imagen de nuevo a A.

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Una función no es inyectiva si no se preserva la distinción, es decir, si existen elementos distintos en el dominio que sí corresponden al mismo elemento en el codominio. Es de muchos a uno.

Entonces hay algún A en el que la imagen no vuelve a mapear a A . Específicamente: $$\Big[\exists x_1\in A, \exists x_2\in X{\setminus}A: f(x_1)=f(x_2)\Big] \to \Big[\exists x\in X{\setminus}A: x\in f^\leftarrow( f^\to (A))\Big]$$