Es el núcleo de un homomorfismo de un anillo booleano a $\mathbb{Z}_2$ ¿es siempre un ideal máximo?

Question

Dejemos que $(B, +, \cdot)$ ser un anillo ( ¡no necesariamente unital! ) con la propiedad de que cada $x \in B$ satisface $x \cdot x = x$ .

¿Cómo se demuestra que el núcleo de cualquier homomorfismo no nulo de anillos $h:B\rightarrow \mathbb{Z}_2$ es un ideal máximo de $(B, +, \cdot)$ ?

Busco una demostración elemental, que no requiera más que las definiciones de anillo, de ideal y de $(B, +, \cdot)$ y, si es necesario, los hechos fácilmente demostrables que $x + x = 0$ y $x\cdot y = y\cdot x,\,\forall\, x,y \in B$ .

Answer 1

Dejemos que $f:B\to\mathbb{Z}_2$ sea un homomorfismo no nulo, y sea $I=\ker(f)$ . Supongamos que $I\subsetneq J\subseteq B$ . Existe un elemento $x\in J\setminus I$ (porque $I\subsetneq J$ ), y debemos tener $f(x)=1$ (porque sólo hay dos elementos de $\mathbb{Z}_2$ para ir a), de modo que $$f(x-1_B)=f(x)-f(1_B)=1-1=0,$$ y por lo tanto $x-1_B\in \ker(f)=I\subset J$ . Así, $$1_B=x-(x-1_B)\in J,$$ y por lo tanto $J=B$ . Así, $I$ es máxima.

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La prueba estándar:

Cualquier homomorfismo no nulo de anillos a $\mathbb{Z}_2$ es suryente; aplique el primer teorema de isomorfismo. A continuación, utilizar que un ideal $I$ de un anillo $R$ es máxima $\iff$ $R/I$ es un campo.

(Nada de esto dependía de ninguna propiedad de $B$ .)

Answer 2

Desde $h:B \to \mathbb{Z}_2$ es un homomorfismo no nulo, $\ker h$ es un ideal propio de $h.$ Si $xy\in \ker h$ entonces $h(xy)=h(x)h(y)=0$ en $\mathbb{Z}_2$ por lo que $x$ o $y$ está en $\ker h,$ por lo que $\ker h$ es un ideal primo de $B.$

Supongamos ahora que $I$ es un ideal de $B$ que contiene estrictamente $\ker h.$ Escoge $x\in I\setminus \ker h.$ Para cualquier $y\in B$ tenemos $x(y-xy)=0\in \ker h$ y como $\ker h$ es un ideal primo tenemos $y-xy \in \ker h.$ Así, $y = (y-xy) +xy \in I$ y concluimos que $\ker h$ es máxima.