Demostración de parte del Teorema de la Estructura de Wedderburn

Question

Tengo problemas con un ejercicio de "Álgebra no conmutativa", de Farb y Dennis, que demuestra parte del teorema de la estructura de Wedderburn para anillos semisimples.

Si $R$ es un anillo semisimple y $\{M_1,\ldots,M_n\}$ es un conjunto de representantes de las clases de isomorfismo de simples $R$ -módulos, dejemos que $D_i=End_R(M_i).$ Queremos demostrar que $R$ es isomorfo a $\prod_{i=1}^nEnd_{D_i}M_i,$ y para ello queremos demostrar que $M_i$ es de dimensión finita sobre $D_i$ . (En particular, si la descomposición de $R$ como una izquierda $R$ -el módulo es $\bigoplus M_i^{n_i},$ entonces resultará que $n_i=dim_{D_i}(M_i)$ ).

Sin embargo, he tenido dificultades para demostrar por qué $M_i$ es de dimensión finita sobre $D_i$ aunque veo por qué debería serlo. ¿Cuáles son exactamente los detalles de la prueba que $dim_{D_i}(M_i)$ es finito? ¿Hay algún truco que se me haya escapado, o la prueba consiste simplemente en seguir todas las definiciones de anillos semisimples y módulos simples?

Answer 1

Aquí hay una explicación de la teoría relevante, incluyendo el hecho que estás buscando. La cuestión es que, tal y como yo lo veo, aprendo la estructura de la $M_i$ módulos después de demostrar el resultado de Wedderburn. Así que escribí todo el asunto:

Dejemos que $R$ sea un anillo semisimple. Es decir, tenemos igualdad de $R$ -módulos $R=\oplus_{i\in I}M_i$ .

En primer lugar, afirmamos que $I$ es un conjunto finito. Esto es cierto porque:

1. $R$ es generado por $1_R$ en $R$ .
2. Por definición de una suma directa, el elemento $1_R$ (como cualquier otro elemento de $R$ ) tiene un número finito de componentes no nulos en la descomposición $R=\oplus_{i\in I}M_i$ .

Así que, a partir de ahora, escribiremos: $R=\oplus_{i=1}^r M_i^{n_i}$ con cada $M_i$ siendo un simple $R$ -y con $M_i\not\cong M_j$ para $i\neq j$ ..

A continuación, afirmamos que todos los simples $R$ -son isomorfos a uno de los módulos $M_i$ .

Dejemos que $M$ ser un simple $R$ -módulo. Arreglar $0\neq m\in M$ . El mapa $\varphi:R\rightarrow M$ definido por $\varphi(r)=rm$ es un homomorfismo no nulo de $R$ -módulos (verificar). Ahora mira $\varphi:\oplus_{i=1}^r M_i^{n_i}\rightarrow M$ de nuevo. Por el lema de Schur, la simplicidad de $M$ implica que la restricción de $\varphi$ a cada $M_i$ es cero o un isomorfismo. Pero no puede ser cero para todas esas restricciones porque $\varphi$ no es el mapa cero. Por lo tanto, al menos uno de los $M_i$ se mapea isomórficamente en $M$ .

Ahora demostramos el teorema de Wedderburn (esto es independiente de la discusión anterior) que da un isomorfismo de anillo $R\cong \prod_{i=1}^r M_{n_i}(\text{End}_R(M_i)^{op}) = \prod_{i=1}^r M_{n_i}(D_i)$ :

$R^{op}\cong \text{End}_R(R)$ (porque $\text{End}_R(R)$ es exactamente la multiplicación a la derecha por elementos de $R$ ).
Así que, $R^{op}\cong \text{End}_R(\oplus_{i=1}^r M_i^{n_i}) \cong\prod_{i=1}^r\text{End}_R(M_i^{n_i})$ (esto se deduce del lema de Schur)
Así que, $R^{op}\cong\prod_{i=1}^rM_{n_i}(\text{End}_R(M_i))$ .
Tomando $-^{op}$ en ambos lados ahora da el resultado deseado.

Nótese que por el lema de Schur, cada $D_i=\text{End}_R(M_i)^{op}$ es un anillo de división.

Ahora que sabemos que como anillo tenemos $R\cong \prod_{i=1}^r M_{n_i}(D_i)$ deducimos que como $R$ -tenemos $R\cong \oplus_{i=1}^r(D_i^{n_i})^{n_i}$ . Es fácil ver que cada $D_i^{n_i}$ es un simple $R$ -módulo. Por lo tanto, estos son los simples $R$ -módulos. Es decir, el $M_i$ Los módulos son los $D_i^{n_i}$ módulos. También vemos que la dimensión de $M_i$ en $D_i$ es igual al número de veces que aparece en la descomposición de $R$ como un semisimple $R$ -módulo.