1. Resumen de la pregunta
Digamos que hay dos números irracionales: $a$$b$. Ahora, cuando $a$ es elevado a la $b$ ( $a^b$ ), entonces digamos que el resultado de esto es $x$.
Así, tenemos: $$x=a^b$$
Ahora, vamos a decir $\alpha$ es igual a la aproximación de las $a$ a un cierto número de dígitos después del decimal, $n$, e $\beta$ es la aproximación de $b$ a un determinado número de dígitos después del decimal, $m$.
Ahora, si nos vamos a: $$y=\alpha^{\beta}$$
$y$ será la aproximación al resultado $x$, pero con sólo la primera $c$ dígitos que son correctos.
2. Problema
Dada la aproximación ( $\alpha$ ) $n$ correcto de dígitos después de la coma decimal del número irracional $a$, Y dada la aproximación ( $\beta$ ) $m$ correcto de dígitos después de la coma decimal del número irracional $b$ -> quiero saber el valor de $c$, el número de dígitos después de la coma decimal del resultado aproximado $y$ que coincide con los del resultado real $x$.
Sé que esto puede sonar muy atemorizante, pero es por eso que a continuación doy un claro ejemplo que demuestra mi problema.
3. Más amable y comprensivo ejemplo del problema
Para un ejemplo, voy a utilizar los números de $\sqrt{3}$$\sqrt{2}$. En primer lugar, voy a calcular el resultado real dada por wolframalpha:
$$\sqrt{3}^{\sqrt{2}}=2.1745814281919670041110624...$$
Ahora, voy a usar una pobre aproximación de $\sqrt{3}$, que se aproxima a 5 dígitos después de la coma decimal, y voy a usar una de cuatro dígitos después del decimal con aproximación de $\sqrt{2}$. Por lo tanto tenemos:
$$1.73205\approx\sqrt{3}$$ $$1.4142\approx\sqrt{2}$$
Entonces, puedo calcular el resultado de $1.73205^{1.4142}$ en lugar de $\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$, para obtener:
$$1.73205^{1.4142}=2.1745637940043789740808552...$$
Recuerde, que me aproximar la raíz cuadrada de 3 a 5 dígitos después de la coma decimal? En mi formal de la declaración del problema, es $n$. Y yo también aproximar la raíz cuadrada de 2 a 4 dígitos, lo $m$ de mi problema formal igual a 4.
Ahora, al comparar el resultado de la expresión real, y de la expresión con aproximaciones a $n$ dígitos de número irracional $a$ $m$ dígitos de número irracional $b$, vemos que sólo los cuatro primeros lugares después de la coma decimal de la aproximados de resultados coinciden con los del resultado real.
El número de dígitos coincidentes en el resultado, que utiliza aproximaciones, el resultado real, se define como $c$ en mi formal de la declaración del problema, y eso es lo QUE quiero averiguar, no sólo para este ejemplo, pero para cada número irracional $a$$b$, sus aproximaciones $\alpha$$\beta$, y el número de dígitos que se aproxima, $n$ $m$ respectivamente, después de la coma decimal, de los números originales.
En este caso de ejemplo, $c=4$.
4. (No sé qué llamar a esta sección)
Ahora, cuando me mostró un ejemplo, las secciones 1 y 2 de esta pregunta espero aspecto más claro y mejor entender. Agradezco cualquier ayuda y les agradezco de antemano.
