Encontrar un ejemplo de un operador lineal

Question

Me pidieron que diera un ejemplo de un operador lineal $T$ en una normativa espacio de $X$ tal que $$\Vert T\Vert = 1$$ and $$\Vert T(x)\Vert < \Vert x\Vert, \;\forall x \in X\setminus\{0\}.$$

Considero $X = (\mathcal l^1, \Vert \cdot \Vert _1)$, y definir $T: X\to X$ $$\forall x = (x_n)_{n=1}^\infty,\;T(x) = \left( \left( 1-\frac1{2^n} \right)x_n\right)_{n=1}^\infty.$$ Puedo demostrar que $T$ es en realidad un operador lineal de$X$$X$, pero no puedo demostrar que $\Vert T\Vert = 1$ $\Vert T(x)\Vert < \Vert x\Vert, \;\forall x \in X\setminus\{0\}.$

Me gustaría algunos consejos si mi ejemplo es correcta, y si es así cómo, para demostrar la declaración. Muchas gracias!!!!

Answer 1

$$||T(x)|| = \sum_{n = 1}^\infty \left( 1-\frac1{2^n} \right)|x_n| < \sum_{i = 1}^\infty 1 |x_n| = ||x|| \, \forall x \in X \setminus \{0\}$$

Incluso en el caso de $x = 0$,$||T(x)|| \le x \, \forall x \in X$, de la que podemos deducir $||T||\le1$.

\begin{align} & ||T|| \\ \ge& \sup_{n \in \Bbb N} ||T(e_n)|| \quad \text{, where } e_n = (\underbrace{0,\dots,0}_{n - 1 \text{ zeros}},1,0,0,\dots) \\ =& \sup_{n \in \Bbb N} 1-\frac1{2^n} = 1 \end{align}

Por lo tanto $||T|| = 1$.

Answer 2

Nos deja denotar $a=(a_n)_{n=1}^\infty$, nos damos cuenta de que $$Tx=(a,x)=\left(\underbrace{\left(1-\frac1{2^n}\right)}_{a_n}x_n\right)_{n=1}^\infty\in\ell_1^*.$$ Desde $\ell_1^*=\ell_\infty$, podemos usar $\|a\|_\infty=\|T\|_1$, que es fácil de encontrar $$\|a\|_\infty=\sup_{n\in \mathbb{N}} \left(1-\frac1{2^n}\right)=1.$$

Answer 3

Para $x \ne 0$ hemos

$||T(x)||= \sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{1}{2^n})|x_n|=\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}|x_n|=||x||-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}|x_n|<||x||$.

Además tenemos a $||T|| \le 1$

Deje $e^{k}$ denotan los vectores unitarios en $l^1$

A continuación,$||T(e^{k})||=1-\frac{1}{2^k} \to 1$$k \to \infty$.

por lo tanto $||T|| =\sup\{||T(x)||: x \in l^1, ||x||=1\} \ge 1$