Cómo probar o refutar que el conjunto de Cantor no incluye cualquier progresión aritmética de longitud 5?
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eljenso
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Al parecer es conocido que la mayor progresiones aritméticas en el conjunto de Cantor son de longitud $4$, es decir, que no hay ninguno de longitud de 5 (o más). Vea aquí el resumen de una charla que mencionar que este resultado.
Un relleno basado en la ashlepper de la sugerencia: tenga en cuenta que no puede haber un punto de acceso con al menos un término en cada una de las $[0,1/3]$$[2/3,1]$, ya que el intervalo de $(1/3,2/3)$ sería entonces, la fuerza de la diferencia común de la AP, al menos, $1/3$ y hay cuatro huecos en un AP de longitud 5, dando una longitud total de, al menos, $4 \cdot (1/3)=4/3$ lo que no puede suceder como el conjunto de cantor es la contenida en $[0,1]$.
El uso de los dos mapas de $x \to 3x$ $x \to 3(1-x)$ (que preservar el conjunto de cantor cuando se aplica a los intervalos de $[0,1/3]$$[2/3,1]$, respectivamente), se puede sucesivamente iniciar con cualquiera de las cinco plazo de AP y mantener la cartografía hasta que ya no está totalmente contenida en cualquiera de las $[0,1/3]$ o en $[2/3,1]$, y luego llegar a la contradicción.
