Si $\sum_{m,n}a_{mn}x^m(1-x)^n\equiv 0$ ¿podemos concluir que $a_{mn}=0$ ?

Question

Supongamos que $\{a_{mn}\}$ son algunos números reales entre -1 y 1. Si sabemos $$\sum_{m,n}a_{mn}x^m(1-x)^n\equiv0\quad\forall x\in(0,1),$$ podemos concluir que $a_{mn}=0$ para todos $m,n\geq 0?$

Gracias.

Answer 1

Oops. La respuesta es trivialmente no - ¡las funciones no son linealmente independientes! (He estado pensando por qué una de ellas no está en el tramo cerrado de las otras; de hecho una de ellas está en el span de los demás).

Si permite $m=0$ y $n=0$ entonces $(-1) + (x) + (1-x)$ es un contraejemplo (todos los coeficientes menos tres desaparecen). Si se supone que $m$ y $n$ son positivos, entonces $[-x^2(1-x)] + [x^3(1-x)] + [x^2(1-x)^2]$ es un contraejemplo.

No somos los únicos que no nos dimos cuenta... oh, bueno.

Answer 2

Permítanme añadir una idea: Podemos ver esto como una mirada a la analítica real $f(x,y) = \sum a_{mn}x^my^n$ a lo largo de la línea $(t,1-t), t \in \mathbb R.$ ¿Puede tal $f$ desaparecen en una línea sin ser idénticos $0,$ es decir, sin tener todos $a_{mn} = 0?$ Claro, sucede todo el tiempo. Por ejemplo, la función $xy$ se desvanece en los ejes. Por lo tanto, está claro que para la línea $(t,1-t)$ tiene que haber muchos ejemplos. Aquí hay uno: $(x+(1-x))^2 - 1 = x^2 +2x(1-x) + (1-x)^2 -1\equiv 0.$