Fórmula de Enumeración de Polya con indiferencia de color

Question

La Fórmula de Enumeración de Polya nos da 6 clases de equivalencia de 2 coloraciones de un cuadrado. Pero, en la coloración de Polya, las siguientes 2 coloraciones pertenecen a 2 clases de equivalencia diferentes:

00
01

y

11
10

(0 y 1 son los 2 colores).

¿Cuál es la teoría que agrupa las coloraciones como las 2 anteriores en el mismo ¿clase de equivalencia? La razón para poner las 2 anteriores en la misma clase sería que podemos obtener una a partir de la otra mediante un mapeo entre los colores (0->1 y 1->0). ¿Existe una fórmula para obtener el número de clases de equivalencia de los colorantes con esta restricción?

Answer 1

Hay un documento Un estudio de las generalizaciones del teorema de enumeración de Pólya que discute una generalización del teorema de Polya que involucra a los colores. En él se daba Problemas combinatorios enumerativos relativos a las estructuras como referencia para esta generalización. Creo que este es el teorema que buscas y la variante a la que se refiere Yuan en su respuesta a tu pregunta.

Answer 2

El PET (si te refieres a lo mismo que yo) es un caso especial del lema de Burnside, que sigue siendo aplicable aquí, pero el grupo es ligeramente mayor. En lugar del grupo $C_4$ de rotaciones de un cuadrado (que supongo que es el grupo de simetrías que te interesa - podría ser $D_4$ por lo que es ambiguo), se obtiene el producto directo de $C_4$ con $C_2$ (el grupo que permuta los colores). El lema de Burnside sigue siendo válido para este grupo mayor.

En términos más generales, de Brujin desarrolló una variante de la teoría de Polya en la que un grupo actúa tanto sobre los colores como sobre las ranuras; desgraciadamente, no conozco ninguna referencia al respecto.