Valores propios de una matriz aleatoria

Question

Últimamente estoy estudiando la teoría de las matrices aleatorias, pero hay una cuestión básica que me preocupa. Espero que alguien de aquí me lo explique, gracias.

Una matriz aleatoria se define como una matriz cuyas entradas son variables aleatorias. Eso está bien, pero luego empiezan a hablar de los valores propios de las matrices aleatorias como si fuera algo normal, sin ninguna explicación al respecto. El problema es que las entradas son variables aleatorias, no números, y esto lo cambia todo.

Si $X$ es una matriz aleatoria y $\lambda$ es un valor propio de $X$ entonces hay un vector propio tal que $$X\cdot v = \lambda v.$$

Al hacer la multiplicación, estoy multiplicando variables aleatorias por las coordenadas de $v$ ¿son estas coordenadas números? ¿O también variables aleatorias? Y $\lambda$ es un número o un número aleatorio (en este caso $\lambda$ sería una variable aleatoria también creo) ?

PD: Estaría muy agradecido si alguien muestra algún ejemplo explícito, para aclarar estas ideas.

Gracias.

Palabra después de años: Volviendo a visitar este tema, después de años de estudio, me doy cuenta mejor de cuál fue el "detonante" que provocó todo este problema.

En primer lugar, utilizan el término valores propios, no al azar valores propios. Así que estaba tomando la definición literal y pensaba que eran números, no variables aleatorias. Para alguien que trabaje en este campo debería ser obvio que eran variables aleatorias, ya que procedían de matrices aleatorias. Yo era muy novato en este campo, de hecho, estaba estudiando la primera definición de variables aleatorias unos días antes.

En segundo lugar, en el momento en que vi " $\lambda_1 \leq \ldots \leq \lambda_N$ " en el libro, realmente no estaba acostumbrado a considerar el ordenamiento sobre las funciones, a escribir cosas como $f \leq g$ cuando $f,g$ son funciones. Ordenar es algo para los números era mi punto de vista aquella vez. Una vez más, esto se debió a mi falta de experiencia.

Answer 1

Si $X$ es una matriz aleatoria, los vectores propios y los valores propios de $X$ también son aleatorios. Así, el vector $v$ y el número real $\lambda$ en su ejemplo son aleatorios.

Editar: A riesgo de insistir en lo obvio, en este contexto, la matriz aleatoria $X$ es una función $X:\Omega\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ y un vector propio y un valor propio de $X$ son funciones $v:\Omega\to\mathbb R^n\setminus\{0\}$ y $\lambda:\Omega\to\mathbb C$ tal que, para cada $\omega$ en $\Omega$ , $X(\omega)v(\omega)=\lambda(\omega)v(\omega)$ . Por ejemplo, la primera coordenada del vector $X(\omega)v(\omega)$ es $\lambda(\omega)v_1(\omega)$ .

Answer 2

Creo que para cada "punto" del espacio muestral se obtiene una matriz y, por tanto, se pueden observar los valores propios de esa matriz. Así obtenemos la "distribución de valores propios", es decir, se convierte en una variable aleatoria por derecho propio.