En primer lugar, la pregunta más fácil (voy a omitir la mayoría de los detalles): El tautológica paquete está dada por
$$ L = \{ (\ell, v) \in \mathbb{CP}^1 \times \mathbb C^2 : v \in \ell\}.$$
Por lo tanto hay una hermitian métrica definida en cada fibra, $\ell$ y se puede considerar el ámbito paquete de $L$ (que es la deformación se retracte de $L-\sigma_0$). Esto es exactamente $\mathbb S^3$ dentro $\mathbb C^2$. Por lo tanto $L-\sigma_0$ ha trivial grupo fundamental.
Sin embargo, el problema más grave es el siguiente argumento:
A continuación, el grupo fundamental de la se $\mathbb{Z}a_1 *\mathbb{Z}a_2$ quotiented por las imágenes de c y d. c será homotópica a un punto y así el grupo fundamental de la se $\mathbb{Z}a_1 *\mathbb{Z}a_2$ quotiented por la imagen de $\mathbb{Z}d$. Puesto que el primero tiene dos generadores y el segundo sólo uno, esto no puede ser trivial.
En la instrucción anterior, que no utiliza el hecho de que se trata de la tangente paquete. Si lo que has dicho es correcto, es cierto para todas las líneas de paquete de más de $\mathbb {CP}^1$. Pero esto no es cierto, como vemos en la tautológica paquete.
Así que, ¿qué tiene de malo? De hecho, esto es bastante escondido en el argumento. Usted escribió
c será homotópica a un punto ...
bien, ¿es esto realmente cierto? Vamos a pensar con claridad cómo identificar esta $"c"$: es el ecuador,$E$$U_1\cap U_2$, pero usted no puede escoger, $c$ $E \times \{0\}$ desde $0\notin \mathbb C^*$. Así que vamos a decir que usted elija
$$[c] = [E\times \{1\}] \in \pi_1(U_1\cap U_2 \times \mathbb C^*)$$
y se supone que la inclusión $i_1 :T(U_1\cap U_2)\setminus\sigma_0 \to TU_1\setminus\sigma_0$ está dado por
$$ U_1\cap U_2 \times \mathbb C^* \to U_1 \times \mathbb C^*, \ \ \ (z, v)\mapsto (z,v).$$
Hasta ahí todo bien, el uso de esta opción tenemos $i_1[c]=0$ ya que como usted dijo, $i_1(c)$ se reduce a un punto en $U_1 \times \mathbb C^*$.
¿Qué acerca de la $i_2 : T(U_1\cap U_1)\setminus \sigma_0 \to TU_2\setminus \sigma_0$? De hecho, bajo la banalización, $i_2$ está dado por
$$ U_1\cap U_2 \times \mathbb C^* \to U_2 \times \mathbb C^*, (z, v) \mapsto (z^{-1}, -z^{-2} v)$$
Así, si escribimos $c$ asignación de:
$$c : \mathbb S^1 \to U_1\cap U_2 \times \mathbb C^*, \ \ \ c(\theta) = (e^{i\theta}, 1),$$
entonces
$$i_2(c) (\theta) = (e^{-i\theta}, e^{i(-2\theta+\pi)}).$$
El primer componente todavía se reducen a una curva constante en $U_2$, pero el segundo componente de la da se eleva a no trivial de bucle en la fibra. De hecho, $i_2[c] = a^{-2}_2$. Así, en la tangente paquete de caso, uno de la relación está dada por $a^2_2 = 1$.
Es fácil encontrar la relación de $d$: Tenemos $i_1[d] = a_1$$i_2[d] =a_2$. Así pues, otra relación es $i_1[d] i_2^{-1} [d] = 1$ o $a_1 = a_2$. Por lo tanto $\pi_1(T\mathbb{CP}^1\setminus \sigma_0)$ es el grupo libre generado por un elemento $a_2$$a_2^2 = 1$, por lo que es $\mathbb Z /2\mathbb Z$.
También se puede argumentar que el anterior para el tautológica de la línea de paquete a la conclusión de que es simplemente conexa.
