factorización del producto de un elemento de matriz y su cofactor

Question

Hola,

esto es una especie de continuación de este hilo concentrarme en un problema específico del álgebra lineal y el análisis que, en mi opinión, es bastante interesante por sí mismo. Allá vamos:

1) Problema principal: Sea $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia fija de números complejos. ¿Existe una secuencia de matrices $A_n=(a(n)_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$ , $n\in\mathbb{N}$ tal que $a(n)_{ij}\widetilde{a(n)_{ij}}=c_i c_j$ donde $\widetilde{a(n)_{ij}}$ denota el cofactor de $a(n)_{ij}$ ? (Para un $n\in\mathbb{N}$ esto establece en realidad un sistema no lineal de $n^2$ ecuaciones con $n^2$ incógnitas).

2) Problema "inverso": Sea $A_n=(a(n)_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$ , $n\in\mathbb{N}$ sea una secuencia dada de matrices cuadráticas complejas de orden creciente. Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que tal secuencia de matrices tenga una secuencia de números complejos $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $\forall n\in\mathbb{N}$ $\forall 1\leq i \leq n, 1\leq j \leq n: a(n)_{ij}\widetilde{a(n)_{ij}}=c_i c_j$ (notación como arriba)?

Cualquier aportación es bienvenida y agradezco enormemente cualquier referencia a problemas similares o relacionados.

Gracias,

efq

Answer 1

El principal problema, podemos utilizar la expansión de los menores a lo largo de la i-ésima fila para calcular

$\det(A_n) = (-1)^{i+1}(a(n)_{i1}\widetilde{a(n)_{i1}} - a(n)_{i2}\widetilde{a(n)_{i2}} + a(n)_{i3}\widetilde{a(n)_{i3}} - \dots)$

o det(A_n) = (-1)ⁱ⁺¹c_i(c₁ - c₂ + c₃ - ...).

Esto es cierto para cualquier i <= n, por lo que siempre que c₁ - c₂ + ... - (-1)ⁿc_n != 0 debemos tener c_i = (-1)ⁱ⁺¹c₁ para todo i <= n. Por lo tanto, cuando c_n != (-1)ⁿ⁺¹c₁ por primera vez, no sólo debemos tener c₁ - c₂ + ... - (-1)ⁿc_n = 0, pero esto alternando suma debe desaparecer para todos los mayores de n, lo que significa que c_j = 0 para todo j > n.

En conclusión: esto sólo es posible si c_k = (-1)^k+1c₁ para todo k < K (K es constante, sino que posiblemente infinita) y, a continuación, c_k = 0 para todo k > K.